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Lokal flache Einbettung In der Mathematik ist lokal flache Einbettung ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeit

Lokal flache Einbettung

In der Mathematik ist lokal flache Einbettung ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeiten. Lokal flache Einbettungen lassen sich in vielen Fällen einfacher klassifizieren. Für verschiedene klassische Sätze, etwa den Satz von Schoenflies, ist lokale Flachheit die allgemeinst-mögliche Voraussetzung.

Definition Bearbeiten

Eine Einbettung

zwischen (topologischen) Mannigfaltigkeiten heißt lokal flach, wenn es zu jedem Punkt Karten und und einen Homöomorphismus

gibt, wobei die -dimensionale Einheitskugel bezeichnet.

Alexander-Sphäre

Beispiele Bearbeiten

  • Jede glatte Einbettung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist lokal flach. Die in der Definition verwendeten Karten können in diesem Fall sogar differenzierbar gewählt werden.
  • Die Alexander-Sphäre ist eine in den eingebettete 2-Sphäre, die nicht lokal flach ist.

Anwendungen Bearbeiten

Der klassische Satz von Schoenflies besagt, dass es zu jeder geschlossenen Jordan-Kurve einen Homöomorphismus gibt, der auf den Einheitskreis abbildet. Dieser Satz lässt sich nicht direkt auf höhere Dimensionen übertragen, u. a. weil die Alexander-Sphäre ein Gegenbeispiel liefert. Jedoch lässt sich der Satz von Schoenflies für lokal flache Einbettungen verallgemeinern.

Satz von Brown: Wird eine (n-1)-dimensionale Sphäre S lokal flach in den n-dimensionalen euklidischen Raum eingebettet, so ist das Paar homöomorph zu , wobei die (n-1)-dimensionale Einheitssphäre bezeichnet.

Der Satz von Brown gilt analog auch für lokal flache Einbettungen der Kodimension ≥ 3 (wo er von Stallings bewiesen wurde, weshalb die allgemeine Formulierung auch als Satz von Brown-Stallings bekannt ist), während es in Kodimension 2 das Phänomen der Verknotung gibt.

Literatur Bearbeiten

  • Barry Mazur: On embeddings of spheres. Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 65 (1959), no. 2, pp. 59–65. online (pdf)
  • Morton Brown: Locally flat imbeddings of topological manifolds. Annals of Mathematics, Second series, Vol. 75 (1962), pp. 331–341. online (pdf)
  • L.V. Keldysh, A.V. Chernavskii: Topological imbeddings in Euclidean space. Proc. Steklov Inst. Math. 81 (1968) Trudy Mat. Inst. Steklov. online (PDF; 863 kB)

Weblinks Bearbeiten

  • Isotopy (Encyclopedia of Mathematics)
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist lokal flache Einbettung ein Begriff aus der Topologie von Mannigfaltigkeiten Lokal flache Einbettungen lassen sich in vielen Fallen einfacher klassifizieren Fur verschiedene klassische Satze etwa den Satz von Schoenflies ist lokale Flachheit die allgemeinst mogliche Voraussetzung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Anwendungen 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenEine Einbettung i N M displaystyle i colon N to M nbsp zwischen topologischen Mannigfaltigkeiten heisst lokal flach wenn es zu jedem Punkt x N displaystyle x in N nbsp Karten x U displaystyle x in U nbsp und i x V displaystyle i x in V nbsp und einen Homoomorphismus V i U D m D n displaystyle V i U simeq D m D n nbsp gibt wobei D m displaystyle D m nbsp die m displaystyle m nbsp dimensionale Einheitskugel bezeichnet nbsp Alexander SphareBeispiele BearbeitenJede glatte Einbettung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist lokal flach Die in der Definition verwendeten Karten konnen in diesem Fall sogar differenzierbar gewahlt werden Die Alexander Sphare ist eine in den R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eingebettete 2 Sphare die nicht lokal flach ist Anwendungen BearbeitenDer klassische Satz von Schoenflies besagt dass es zu jeder geschlossenen Jordan Kurve i S 1 R 2 displaystyle i colon S 1 to mathbb R 2 nbsp einen Homoomorphismus R 2 R 2 displaystyle mathbb R 2 to mathbb R 2 nbsp gibt der i S 1 displaystyle i S 1 nbsp auf den Einheitskreis abbildet Dieser Satz lasst sich nicht direkt auf hohere Dimensionen ubertragen u a weil die Alexander Sphare ein Gegenbeispiel liefert Jedoch lasst sich der Satz von Schoenflies fur lokal flache Einbettungen verallgemeinern Satz von Brown Wird eine n 1 dimensionale Sphare S lokal flach in den n dimensionalen euklidischen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp eingebettet so ist das Paar R n i S displaystyle R n i S nbsp homoomorph zu R n S n 1 displaystyle mathbb R n S n 1 nbsp wobei S n 1 displaystyle S n 1 nbsp die n 1 dimensionale Einheitssphare bezeichnet Der Satz von Brown gilt analog auch fur lokal flache Einbettungen der Kodimension 3 wo er von Stallings bewiesen wurde weshalb die allgemeine Formulierung auch als Satz von Brown Stallings bekannt ist wahrend es in Kodimension 2 das Phanomen der Verknotung gibt Literatur BearbeitenBarry Mazur On embeddings of spheres Bulletin of the American Mathematical Society Vol 65 1959 no 2 pp 59 65 online pdf Morton Brown Locally flat imbeddings of topological manifolds Annals of Mathematics Second series Vol 75 1962 pp 331 341 online pdf L V Keldysh A V Chernavskii Topological imbeddings in Euclidean space Proc Steklov Inst Math 81 1968 Trudy Mat Inst Steklov online PDF 863 kB Weblinks BearbeitenIsotopy Encyclopedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lokal flache Einbettung amp oldid 217024619