Das logarithmische Konvergenzkriterium ist ein Konvergenzkriterium der Analysis einem der Teilgebiete der Mathematik Es gibt hinreichende Bedingungen sowohl fur die Konvergenz als auch fur die Divergenz von Reihen deren Glieder eine Folge positiver reeller Zahlen bilden 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Kriterium 2 Hinweise zum Beweis 3 Anwendung 4 Anmerkung 5 Literatur 6 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Kriterium BearbeitenDas Kriterium besagt folgendes Sei a k k N displaystyle a k k in mathbb N nbsp eine Zahlenfolge in R displaystyle mathbb R nbsp und sei dabei jede Zahl a k gt 0 displaystyle a k gt 0 nbsp k N displaystyle k in mathbb N nbsp Es sei vorausgesetzt dass die dazu gebildete Zahlenfolge b k k N displaystyle b k k in mathbb N nbsp mit b k ln k a k ln ln k k N displaystyle b k frac ln k cdot a k ln ln k k in mathbb N nbsp eigentlich oder uneigentlich konvergiere und dabei den Grenzwert L lim k b k displaystyle L lim k to infty b k in infty infty nbsp habe Dann gilt I Im Falle L lt 1 displaystyle L lt 1 nbsp ist die zugehorige Reihe k a k displaystyle sum k a k nbsp konvergent k 1 a k lt displaystyle sum k 1 infty a k lt infty nbsp dd II Im Falle L gt 1 displaystyle L gt 1 nbsp ist die zugehorige Reihe k a k displaystyle sum k a k nbsp divergent k 1 a k displaystyle sum k 1 infty a k infty nbsp dd Hinweise zum Beweis BearbeitenDer Beweis beruht auf dem Majoranten und Minorantenkriterium und darauf dass die Reihe k 2 1 k ln k 1 d displaystyle sum k 2 infty frac 1 k cdot ln k 1 delta nbsp fur d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp konvergiert und fur d 0 displaystyle delta 0 nbsp divergiert Dabei kommt fur den Konvergenzfall das Integralkriterium zum Tragen sowie die Tatsache dass dann 2 1 t ln t 1 d d t 1 d ln 2 d displaystyle textstyle int 2 infty frac 1 t cdot ln t 1 delta mathrm d t frac 1 delta cdot ln 2 delta nbsp ist 2 Anwendung BearbeitenFura k 1 k 2 k N displaystyle a k frac 1 k 2 k in mathbb N nbsp hat man lim k b k lim k ln 1 k ln ln k lim k ln k ln ln k lim x x ln x lt 1 displaystyle lim k to infty b k lim k to infty frac ln frac 1 k ln ln k lim k to infty frac ln k ln ln k lim x to infty frac x ln x infty lt 1 nbsp was nach dem Kriterium einen Beweis fur die Konvergenz der bekannten Reihe k 1 1 k 2 1 1 4 1 9 1 16 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 2 1 frac 1 4 frac 1 9 frac 1 16 cdots nbsp dd darstellt Fura k 1 k k N displaystyle a k frac 1 k k in mathbb N nbsp hat man lim k b k lim k ln 1 ln ln k 0 gt 1 displaystyle lim k to infty b k lim k to infty frac ln 1 ln ln k 0 gt 1 nbsp womit das Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe beweist Anmerkung BearbeitenUber den Zweifelsfall lim k b k 1 displaystyle lim k to infty b k 1 nbsp sind keine Aussagen hinsichtlich Konvergenz oder Divergenz zu machen D h es konnen je nach vorgelegter Zahlenfolge beide Falle eintreten Literatur BearbeitenKazimierz Kuratowski Introduction to Calculus International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics Band 17 2 Auflage Pergamon Press Oxford u a 1969 MR0349918 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Kazimierz Kuratowski Introduction to Calculus International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics Band 17 2 Auflage Pergamon Press Oxford u a 1969 S 298 299 329 MR0349918 Kazimierz Kuratowski Introduction to Calculus International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics Band 17 2 Auflage Pergamon Press Oxford u a 1969 S 296 297 298 299 MR0349918 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Logarithmisches Konvergenzkriterium amp oldid 209157646
