www.wikidata.de-de.nina.az

Integralkriterium Das auch Integralvergleichskriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen

Integralkriterium

Das Integralkriterium (auch Integralvergleichskriterium) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Reihe wird dabei als Fläche unter einer Treppenfunktion betrachtet, die durch den Flächeninhalt unter einer Kurve abgeschätzt wird. Mit einer Abschätzung nach oben lässt sich die Konvergenz nachweisen, nach unten die Divergenz. Der Flächeninhalt unter der Kurve berechnet sich durch das Integral.

Untere Abschätzung der harmonischen Reihe durch Fläche unter der Funktion 1/x

Formulierung Bearbeiten

Es sei eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall mit einer ganzen Zahl definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt. Dann konvergiert die Reihe genau dann, wenn das Integral existiert, das heißt, wenn es einen endlichen Wert annimmt. Anstatt von der Existenz des Integrals spricht man manchmal auch – gleichbedeutend – von der Konvergenz des Integrals.

Genauer: Sei monoton fallend, dann gilt

Falls eines von beiden, also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe, und damit auch das andere, zutrifft, gelten die Abschätzungen

Beispiele Bearbeiten

Um zu prüfen, ob die Reihe

konvergiert, stellt man fest, dass sie mit der Funktion

als geschrieben werden kann. Die Funktion ist im Intervall monoton fallend und es gilt:

Das Integral ist also endlich und nach dem Integralkriterium ist die Reihe somit konvergent.

Ähnlich kann die harmonische Reihe mit als umgeschrieben werden. Die Funktion ist im Intervall monoton fallend, das heißt, dass das Integralkriterium angewendet werden kann:

Das Integral ist divergent und somit die harmonische Reihe auch.

Veranschaulichung Bearbeiten

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja monoton fällt, ist auf jedem Intervall (mit einer ganzen Zahl ) der größte und der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter immer kleiner oder gleich und größer oder gleich . Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren.

Oder: Die Reihe konvergiert, nähert sich also ab unendlich nahe an den Grenzwert an. Für das Integral bedeutet dies, dass die Fläche nicht mehr größer wird, sondern sich ebenfalls an einen (Flächen)-Wert annähert. Hätte die Fläche gegen unendlich keinen Grenzwert, könnte nie ein Wert für das Integral fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen, was im Widerspruch zur obigen Definition steht.

Literatur Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Das Integralkriterium auch Integralvergleichskriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium fur unendliche Reihen Die Reihe wird dabei als Flache unter einer Treppenfunktion betrachtet die durch den Flacheninhalt unter einer Kurve abgeschatzt wird Mit einer Abschatzung nach oben lasst sich die Konvergenz nachweisen nach unten die Divergenz Der Flacheninhalt unter der Kurve berechnet sich durch das Integral Untere Abschatzung der harmonischen Reihe durch Flache unter der Funktion 1 x Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Beispiele 3 Veranschaulichung 4 LiteraturFormulierung BearbeitenEs sei f displaystyle f nbsp eine monoton fallende Funktion die auf dem Intervall p displaystyle p infty nbsp mit einer ganzen Zahl p displaystyle p nbsp definiert ist und nur nichtnegative Werte annimmt Dann konvergiert die Reihe n p f n displaystyle textstyle sum n p infty f n nbsp genau dann wenn das Integral p f x d x displaystyle textstyle int p infty f x mathrm d x nbsp existiert das heisst wenn es einen endlichen Wert annimmt Anstatt von der Existenz des Integrals spricht man manchmal auch gleichbedeutend von der Konvergenz des Integrals Genauer Sei p Z f p 0 displaystyle p in mathbb Z f colon p infty to 0 infty nbsp monoton fallend dann gilt f displaystyle f nbsp ist auf p displaystyle p infty nbsp integrierbar n p f n displaystyle iff sum n p infty f n nbsp ist konvergent Falls eines von beiden also Existenz des Integrals beziehungsweise Konvergenz der Reihe und damit auch das andere zutrifft gelten die Abschatzungen n p 1 f n p f x d x n p f n displaystyle sum n p 1 infty f n leq int p infty f x mathrm d x leq sum n p infty f n nbsp Beispiele BearbeitenUm zu prufen ob die Reihe n 1 1 n 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 nbsp konvergiert stellt man fest dass sie mit der Funktion f 1 R f x 1 x 2 displaystyle f colon 1 infty to mathbb R quad f x frac 1 x 2 nbsp als n 1 f n displaystyle sum n 1 infty f n nbsp geschrieben werden kann Die Funktion f displaystyle f nbsp ist im Intervall I 1 displaystyle I 1 infty nbsp monoton fallend und es gilt 1 1 x 2 d x lim b 1 x 1 b 1 displaystyle int limits 1 infty frac 1 x 2 mathrm d x lim b to infty left frac 1 x right 1 b 1 nbsp Das Integral ist also endlich und nach dem Integralkriterium ist die Reihe somit konvergent Ahnlich kann die harmonische Reihe n 1 1 n displaystyle sum n 1 infty frac 1 n nbsp mit f 1 R f x 1 x displaystyle f colon 1 infty to mathbb R quad f x frac 1 x nbsp als n 1 f n displaystyle sum n 1 infty f n nbsp umgeschrieben werden Die Funktion f displaystyle f nbsp ist im Intervall I 1 displaystyle I 1 infty nbsp monoton fallend das heisst dass das Integralkriterium angewendet werden kann 1 1 x d x lim b ln x 1 b displaystyle int 1 infty frac 1 x mathrm d x lim b to infty bigg ln x bigg 1 b infty nbsp Das Integral ist divergent und somit die harmonische Reihe auch Veranschaulichung BearbeitenDas Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zuganglich Gerade die letzte Zeile ahnelt einer popularen Begrundung des Begriffs des Riemann Integrals mithilfe von Ober und Untersummen Weil nach Voraussetzung ja f displaystyle f nbsp monoton fallt ist auf jedem Intervall q q 1 displaystyle q q 1 nbsp mit einer ganzen Zahl q displaystyle q nbsp f q displaystyle f q nbsp der grosste und f q 1 displaystyle f q 1 nbsp der kleinste Funktionswert auf diesem Intervall Weil das Intervall die Breite 1 hat ist der Flacheninhalt unter f displaystyle f nbsp immer kleiner oder gleich f q 1 displaystyle f q cdot 1 nbsp und grosser oder gleich f q 1 1 displaystyle f q 1 cdot 1 nbsp Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert so muss auch der jeweils andere Ausdruck konvergieren Oder Die Reihe n p f n displaystyle textstyle sum n p infty f n nbsp konvergiert nahert sich also ab p displaystyle p nbsp unendlich nahe an den Grenzwert an Fur das Integral bedeutet dies dass die Flache nicht mehr grosser wird sondern sich ebenfalls an einen Flachen Wert annahert Hatte die Flache gegen unendlich keinen Grenzwert konnte nie ein Wert fur das Integral p f x d x displaystyle textstyle int p infty f x mathrm d x nbsp fest gemacht werden und somit das Integral keinen endlichen Wert annehmen was im Widerspruch zur obigen Definition steht Literatur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 41282 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Integralkriterium amp oldid 184468870