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Liouvillesche Zahl Als benannt nach Joseph Liouville bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl x displaystyle

Liouvillesche Zahl

Als Liouvillesche Zahl, benannt nach Joseph Liouville, bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl welche die Bedingung erfüllt, dass für jedes natürliche ganze Zahlen und mit existieren, sodass gilt:

Irrationalität und Transzendenz Bearbeiten

Alle Liouvilleschen Zahlen sind irrational: Für jede rationale Zahl mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem Nenner gibt es eine ganze Zahl mit (vgl. Archimedisches Axiom). Wenn nun und ganze Zahlen mit und sind, dann gilt:

1844 zeigte Liouville, dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind, sondern auch transzendent. Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl, der Liouvilleschen Konstante:

Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent, aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch. So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π transzendent, aber nicht Liouvillesch.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Als Liouvillesche Zahl benannt nach Joseph Liouville bezeichnet man in der Zahlentheorie eine reelle Zahl x displaystyle x welche die Bedingung erfullt dass fur jedes naturliche n displaystyle n ganze Zahlen p displaystyle p und q displaystyle q mit q gt 1 displaystyle q gt 1 existieren sodass gilt 0 lt x p q lt 1 q n displaystyle 0 lt left x frac p q right lt frac 1 q n Irrationalitat und Transzendenz BearbeitenAlle Liouvilleschen Zahlen sind irrational Fur jede rationale Zahl x c d displaystyle x tfrac c d nbsp mit ganzzahligem Zahler c displaystyle c nbsp und ganzzahligem Nenner d gt 0 displaystyle d gt 0 nbsp gibt es eine ganze Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp mit 2 n 1 gt d displaystyle 2 n 1 gt d nbsp vgl Archimedisches Axiom Wenn nun p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp ganze Zahlen mit q gt 1 displaystyle q gt 1 nbsp und p q c d displaystyle tfrac p q neq tfrac c d nbsp sind dann gilt x p q c d p q c q p d d q 1 d q gt 1 2 n 1 q 1 q n displaystyle left x frac p q right left frac c d frac p q right left frac c q p d d q right geq frac 1 d q gt frac 1 2 n 1 q geq frac 1 q n nbsp 1844 zeigte Liouville dass Zahlen mit dieser Eigenschaft nicht nur irrational sind sondern auch transzendent Dies war der erste Beweis der Transzendenz einer Zahl der Liouvilleschen Konstante c j 1 1 10 j 1 10 1 1 10 2 1 10 6 1 10 24 0 110 00 10000 00000 00000 00010 displaystyle c sum j 1 infty frac 1 10 j frac 1 10 1 frac 1 10 2 frac 1 10 6 frac 1 10 24 dotsb 0 11000 text 10000 text 00000 text 00000 text 00010 text ldots text nbsp Folge A012245 in OEIS Alle Liouvilleschen Zahlen sind transzendent aber nicht alle transzendenten Zahlen sind Liouvillesch So sind beispielsweise die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl p transzendent aber nicht Liouvillesch Literatur BearbeitenJoseph Liouville Nouvelle demonstration d un theoreme sur les irrationelles algebriques insere dans le Compte rendu de la derniere seance In Comptes rendus de l Academie des sciences Band 18 1844 S 910 911 Digitalisat abgerufen am 24 November 2020 S V Kotov Liouville number In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Liouville s Constant In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liouvillesche Zahl amp oldid 219249390