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Linienmethode Die vertikale engl method of lines MOL ist ein Verfahren zum Lösen parabolischer partieller Differentialgl

Linienmethode

Die vertikale Linienmethode (engl. method of lines, MOL) ist ein Verfahren zum Lösen (parabolischer) partieller Differentialgleichungen, bei welcher alle bis auf eine Dimension (üblicherweise die Zeitvariable) diskretisiert werden. Durch die Diskretisierung ergibt sich damit an Stelle der ursprünglichen partiellen Differentialgleichung ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches mit adäquaten Mitteln behandelt werden kann. Von besonderem Interesse ist die numerische Version, auch „NMOL“ genannt. Hierbei erfolgt die Lösung des durch die Diskretisierung erhaltenen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen zum Beispiel durch die Anwendung von Ein- oder Mehrschrittverfahren, insbesondere Runge-Kutta-Verfahren. Diese Tatsache zeigt bereits die Grenzen der Einsatzmöglichkeiten dieses Verfahrens: Um Ein- oder Mehrschrittverfahren anwenden zu können, muss das sich nach der Diskretisierung ergebende Problem ein Anfangswertproblem erster Ordnung darstellen, was wiederum bedeutet, dass das ursprüngliche Problem in wenigstens einer Variablen ein Anfangswertproblem erster Ordnung sein muss.

Diesem Verfahren steht die horizontale Linienmethode gegenüber, welche besser unter dem Namen Rothe-Methode bekannt ist (benannt nach Erich Rothe). Die Idee bei der Rothe-Methode für parabolische Anfangs-Randwertprobleme besteht darin, zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der Zeit vorzunehmen, um somit das Problem direkt zu einem Anfangswertproblem im Funktionenraum umzuformulieren.

Vertikale Linienmethode Bearbeiten

Die Idee bei der (vertikalen) Linienmethode für parabolische Anfangs-Randwertprobleme besteht darin, zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der räumlichen Variablen und danach das resultierende Problem hinsichtlich der Zeit zu diskretisieren. Im Fall einer konformen Approximation, sei (siehe Sobolev-Räume), (siehe Lp-Räume) und . Das verallgemeinerte Problem einer parabolischen Differentialgleichung bedeutet nun: Man finde ein mit , so dass:

wobei eine beschränkte, V-elliptische Bilinearform auf und ist.

Wenn die räumliche Diskretisierung mit finiten Elementen erfolgt, dann erhalten wir für (Finite-Element-Funktionenraum) das diskrete Problem:

wobei eine Approximation von .

Sei nun eine Basis von und . Dann ergeben sich als Galerkingleichungen für das oben beschriebene diskrete Problem:

mit .

Damit erhalten wir eine Differentialgleichung der Form

wobei mit , mit und bzw. und .

Horizontale Linienmethode (Rothe-Methode) Bearbeiten

Wir gehen wieder von der verallgemeinerten Form

mit und aus. Dann wird das Zeitintervall in Teilintervalle mit der Gitterweite zerlegt. Es sei diesmal die Hütchenfunktion in der Zeit, das heißt bei einer zeitlichen Diskretisierung mit den Gitterpunkten gilt

Dann wird eine Näherung für beschrieben durch die Rothe-Funktion

Unter Verwendung des impliziten Eulerverfahrens löst man nun in jedem Zeitschritt das Ortsproblem

wobei . Auch die Verwendung anderer Integrationsverfahren ist möglich; da die Probleme jedoch meistens steif sind, sollte ein implizites Verfahren bevorzugt werden.

Literatur Bearbeiten

  • William E. Schiesser: The Numerical Method of Lines. Integration of partial differential Equations. Academic Press, San Diego u. a. 1991, ISBN 0-12-624130-9
  • William E. Schiesser: Computational mathematics in Engineering and Applied Science. ODEs, DAEs, and PDEs. CRC Press, Boca Raton FL u. a. 1994, ISBN 0-8493-7373-5.

Weblinks Bearbeiten

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Die vertikale Linienmethode engl method of lines MOL ist ein Verfahren zum Losen parabolischer partieller Differentialgleichungen bei welcher alle bis auf eine Dimension ublicherweise die Zeitvariable diskretisiert werden Durch die Diskretisierung ergibt sich damit an Stelle der ursprunglichen partiellen Differentialgleichung ein System gewohnlicher Differentialgleichungen welches mit adaquaten Mitteln behandelt werden kann Von besonderem Interesse ist die numerische Version auch NMOL genannt Hierbei erfolgt die Losung des durch die Diskretisierung erhaltenen Systems gewohnlicher Differentialgleichungen zum Beispiel durch die Anwendung von Ein oder Mehrschrittverfahren insbesondere Runge Kutta Verfahren Diese Tatsache zeigt bereits die Grenzen der Einsatzmoglichkeiten dieses Verfahrens Um Ein oder Mehrschrittverfahren anwenden zu konnen muss das sich nach der Diskretisierung ergebende Problem ein Anfangswertproblem erster Ordnung darstellen was wiederum bedeutet dass das ursprungliche Problem in wenigstens einer Variablen ein Anfangswertproblem erster Ordnung sein muss Diesem Verfahren steht die horizontale Linienmethode gegenuber welche besser unter dem Namen Rothe Methode bekannt ist benannt nach Erich Rothe Die Idee bei der Rothe Methode fur parabolische Anfangs Randwertprobleme besteht darin zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der Zeit vorzunehmen um somit das Problem direkt zu einem Anfangswertproblem im Funktionenraum umzuformulieren Inhaltsverzeichnis 1 Vertikale Linienmethode 2 Horizontale Linienmethode Rothe Methode 3 Literatur 4 WeblinksVertikale Linienmethode BearbeitenDie Idee bei der vertikalen Linienmethode fur parabolische Anfangs Randwertprobleme besteht darin zuerst eine Diskretisierung hinsichtlich der raumlichen Variablen und danach das resultierende Problem hinsichtlich der Zeit zu diskretisieren Im Fall einer konformen Approximation sei V H 0 1 displaystyle V H 0 1 nbsp siehe Sobolev Raume H L 2 W displaystyle H L 2 Omega nbsp siehe Lp Raume und u 0 H displaystyle u 0 in H nbsp Das verallgemeinerte Problem einer parabolischen Differentialgleichung bedeutet nun Man finde ein u W 2 1 0 T V H displaystyle u in W 2 1 0 T V H nbsp mit u 0 u 0 H displaystyle u 0 u 0 in H nbsp so dass d d t u t v A u t v f t v v V displaystyle frac d dt u t v A u t v f t v quad forall v in V nbsp wobei A displaystyle A nbsp eine beschrankte V elliptische Bilinearform auf V V displaystyle V times V nbsp und f L 2 0 T V displaystyle f in L 2 0 T V nbsp ist Wenn die raumliche Diskretisierung mit finiten Elementen erfolgt dann erhalten wir fur V n V displaystyle V n subset V nbsp Finite Element Funktionenraum das diskrete Problem d d t u n t v n A u n t v n f t v n v n V n displaystyle frac d dt u n t v n A u n t v n f t v n quad forall v n in V n nbsp wobei u n 0 u n 0 displaystyle u n 0 u n 0 nbsp eine Approximation von u 0 in V n displaystyle u 0 mbox in V n nbsp Sei nun ϕ 1 ϕ n displaystyle phi 1 ldots phi n nbsp eine Basis von V n displaystyle V n nbsp und u n x t i 1 N c i t ϕ i x displaystyle u n x t sum i 1 N c i t phi i x nbsp Dann ergeben sich als Galerkingleichungen fur das oben beschriebene diskrete Problem i 1 N c i t ϕ i ϕ j i 1 N c i t A ϕ i ϕ j f t ϕ j j 1 N displaystyle sum i 1 N c i t phi i phi j sum i 1 N c i t A phi i phi j f t phi j forall j 1 ldots N nbsp mit c i 0 g i 0 wobei u n 0 i 1 N g i 0 ϕ x displaystyle c i 0 gamma i 0 mbox wobei u n 0 sum i 1 N gamma i 0 phi x nbsp Damit erhalten wir eine Differentialgleichung der Form D c t A c t f t displaystyle D hat c t A hat c t hat f t nbsp wobei D d i j displaystyle D d ij nbsp mit d i j ϕ j ϕ i displaystyle d ij phi j phi i nbsp A a i j displaystyle A a ij nbsp mit a i j A ϕ j ϕ i displaystyle a ij A phi j phi i nbsp und f j f t ϕ j displaystyle f j f t phi j nbsp bzw c c i displaystyle hat c c i nbsp und f f i displaystyle hat f f i nbsp Horizontale Linienmethode Rothe Methode BearbeitenWir gehen wieder von der verallgemeinerten Form d d t u n t v n A u n t v n f t v n v n V n displaystyle frac d dt u n t v n A u n t v n f t v n quad forall v n in V n nbsp mit u 0 u 0 H displaystyle u 0 u 0 in H nbsp und u W 2 1 0 T V H displaystyle u in W 2 1 0 T V H nbsp aus Dann wird das Zeitintervall in p displaystyle p nbsp Teilintervalle mit der Gitterweite t displaystyle tau nbsp zerlegt Es sei diesmal ϕ i displaystyle phi i nbsp die Hutchenfunktion in der Zeit das heisst bei einer zeitlichen Diskretisierung mit den Gitterpunkten t 0 t p displaystyle t 0 ldots t p nbsp gilt ϕ i t t t i 1 t i t i 1 t t i 1 t i t i 1 t t i 1 t i t t i t i 1 0 sonst displaystyle phi i t begin cases frac t t i 1 t i t i 1 amp t in t i 1 t i frac t i 1 t t i 1 t i amp t in t i t i 1 0 amp mbox sonst end cases nbsp Dann wird eine Naherung fur u x t displaystyle u x t nbsp beschrieben durch die Rothe Funktion u t x t i 1 p z i x ϕ i t displaystyle u tau x t sum i 1 p z i x phi i t nbsp Unter Verwendung des impliziten Eulerverfahrens lost man nun in jedem Zeitschritt das Ortsproblem z i 1 z i t i v A z i 1 v f i 1 v displaystyle left frac z i 1 z i tau i v right A z i 1 v f i 1 v nbsp wobei t i t i 1 t i displaystyle tau i t i 1 t i nbsp Auch die Verwendung anderer Integrationsverfahren ist moglich da die Probleme jedoch meistens steif sind sollte ein implizites Verfahren bevorzugt werden Literatur BearbeitenWilliam E Schiesser The Numerical Method of Lines Integration of partial differential Equations Academic Press San Diego u a 1991 ISBN 0 12 624130 9 William E Schiesser Computational mathematics in Engineering and Applied Science ODEs DAEs and PDEs CRC Press Boca Raton FL u a 1994 ISBN 0 8493 7373 5 Weblinks BearbeitenBeschreibung in der Mathematica 5 2 Dokumentation engl Memento vom 8 Februar 2009 im Internet Archive Beschreibung der Methode von Michael B Cutlip und Mordechai Shacham engl PDF 92 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Linienmethode amp oldid 213841121