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Lineare Disjunktheit In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper M displaystyle M und N displaystyle N einer Kö

Lineare Disjunktheit

In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper und einer Körpererweiterung linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von , die über linear unabhängig ist, auch über linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung

ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von und ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper , d. h.

Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen und endlich und galoissch ist.

In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).

Verwandte Begriffe Bearbeiten

ist.

Literatur Bearbeiten

  • Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
  • Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26
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Veröffentlichungsdatum:
In der abstrakten Algebra heissen zwei Zwischenkorper M displaystyle M und N displaystyle N einer Korpererweiterung L K displaystyle L K linear disjunkt wenn jede Menge von Elementen von M displaystyle M die uber K displaystyle K linear unabhangig ist auch uber N displaystyle N linear unabhangig ist Eine aquivalente Charakterisierung lautet Die Abbildung M K N L displaystyle M otimes K N to L ist injektiv zur Notation siehe Tensorprodukt An dieser Beschreibung sieht man auch sofort dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von M displaystyle M und N displaystyle N ist Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkorper K displaystyle K d h M N K displaystyle M cap N K Die Umkehrung gilt nicht allgemein jedoch zumindest dann wenn eine der beiden Erweiterungen M K displaystyle M K und N K displaystyle N K endlich und galoissch ist In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verscharfen wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkorper voraussetzt Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G MN K des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkorper M N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G M K G N K von M und N Lasst man die lineare Disjunktheit weg erhalt man nur die Isomorphie von G MN K zu einer Untergruppe des Produkts G M K G N K Verwandte Begriffe BearbeitenEine Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp ist genau dann regular wenn L displaystyle L nbsp linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss K displaystyle bar K nbsp von K displaystyle K nbsp ist Eine Erweiterung L displaystyle L nbsp eines Korpers K displaystyle K nbsp der Charakteristik p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp ist genau dann separabel wenn L displaystyle L nbsp linear disjunkt zuK p x K n x p n K displaystyle K p infty x in bar K mid exists n colon x p n in K nbsp dd ist Literatur BearbeitenSerge Lang Algebra Springer Verlag New York 2002 ISBN 0 387 95385 X Abschnitt VIII 3 Hideyuki Matsumura Commutative ring theory Cambridge University Press Cambridge 1989 ISBN 0 521 36764 6 Abschnitt 26 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lineare Disjunktheit amp oldid 140696173