Das Lemma von Schwarz-Pick (nach Hermann Schwarz und Georg Alexander Pick) ist eine Aussage aus der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen des Einheitskreises, die das Schwarzsche Lemma verallgemeinert. Im Rahmen der hyperbolischen Geometrie bedeutet es, dass holomorphe Endomorphismen Kontraktionen sind.
Aussage Bearbeiten
Es bezeichne die Einheitskreisscheibe und sei eine holomorphe Funktion. Dann gilt für alle
und für alle
Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man durch teilt und dann gegen gehen lässt.
Anwendungen Bearbeiten
In der hyperbolischen Geometrie ist
der hyperbolische Abstand. Die erste Ungleichung des Lemmas von Schwarz-Pick sagt demnach aus, dass holomorphe Funktionen bzgl. dieser Metrik Kontraktionen sind.
Ist und setzt man in der ersten Ungleichung , so erhält man als Spezialfall die Aussage des Schwarzschen Lemmas.
Literatur Bearbeiten
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07247-4, (Vieweg-Studium 47: Aufbaukurs Mathematik).
Weblinks Bearbeiten
- Georg Pick Über eine Eigenschaft der konformen Abbildung kreisförmiger Bereiche, Mathematische Annalen, Bd.77, 1916, S. 1–6
- Osserman „From Schwarz-Pick to Ahlfors and beyond“, Notices American Mathematical Society, August 1999, als PDF-Datei hier [1] (PDF; 90 kB)