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Dehns Lemma ist in der Topologie ein grundlegender Lehrsatz aus der Theorie 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten Es geht u

Dehns Lemma

Dehns Lemma ist in der Topologie ein grundlegender Lehrsatz aus der Theorie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Es geht ursprünglich auf Max Dehn zurück, wurde aber erst 1957 von Christos Papakyriakopoulos bewiesen zusammen mit einer etwas allgemeineren Aussage, dem sogenannten Schleifensatz (engl. Loop Theorem). Waldhausen gab 1968 einen anderen Beweis mit Hilfe von Hierarchien in Haken-Mannigfaltigkeiten.

Ebenso wie der Sphärensatz stellt es einen Zusammenhang zwischen der (in algebraischen Begriffen formulierbaren) Homotopietheorie und der geometrischen Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten her, beide Sätze bilden die Grundlage für große Teile der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten.

Dehns Lemma Bearbeiten

Sei eine 3-Mannigfaltigkeit und eine stetige Abbildung der Kreisscheibe, die auf einer Umgebung des Randes eine Einbettung mit ist.

Dann gibt es eine Einbettung mit .

Schleifensatz Bearbeiten

Sei eine 3-Mannigfaltigkeit, eine Zusammenhangskomponente des Randes .

Wenn nicht injektiv ist, dann gibt es eine eigentliche Einbettung mit

Allgemeiner, wenn unter obigen Voraussetzungen ein Normalteiler und ist, dann gibt es eine eigentliche Einbettung mit

Anwendung: Inkompressible Flächen Bearbeiten

Eine in einer 3-Mannigfaltigkeit eigentlich eingebettete (oder in den Rand eingebettete) Fläche vom Geschlecht heißt inkompressibel, wenn es keine in eingebettete Kreisscheibe mit und gibt.

Eine unmittelbare Anwendung des Schleifensatzes liefert die folgende homotopietheoretische Charakterisierung zweiseitiger inkompressibler Flächen vom Geschlecht .

Eine in einer 3-Mannigfaltigkeit eigentlich eingebettete (oder in den Rand eingebettete) zusammenhängende zweiseitige Fläche vom Geschlecht ist inkompressibel genau dann, wenn

injektiv ist.

Anwendung: Knotentheorie Bearbeiten

In der Knotentheorie folgt aus Dehns Lemma, dass der triviale Knoten mittels der Knotengruppe, das heißt der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements charakterisiert werden kann.

Ein Knoten ist genau dann trivial, wenn

gilt.

Literatur Bearbeiten

  • John Hempel: 3-manifolds. Reprint of the 1976 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI 2004, ISBN 0-8218-3695-1.
  • William Jaco: Lectures on three-manifold topology. (= CBMS Regional Conference Series in Mathematics. 43). American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980, ISBN 0-8218-1693-4.
  • C. D. Papakyriakopoulos: On Dehn's lemma and the asphericity of knots. In: Ann. of Math. Band 66, Nr. 1, 1957, S. 1–26.
  • F. Waldhausen: The word problem in fundamental groups of sufficiently large irreducible 3-manifolds. In: Ann. of Math. Band 88, Nr. 2, 1968, S. 272–280.
  • John Stallings: Group theory and three-dimensional manifolds. (= James K. Whittemore Lectures in Mathematics. = Yale Mathematical Monographs. 4). Yale University Press, New Haven, Conn./ London 1971, ISBN 0-300-01397-3.

Weblinks Bearbeiten

Hatcher: Notes on Basic 3-Manifold Topology (PDF; 665 kB)

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Dehns Lemma ist in der Topologie ein grundlegender Lehrsatz aus der Theorie 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten Es geht ursprunglich auf Max Dehn zuruck wurde aber erst 1957 von Christos Papakyriakopoulos bewiesen zusammen mit einer etwas allgemeineren Aussage dem sogenannten Schleifensatz engl Loop Theorem Waldhausen gab 1968 einen anderen Beweis mit Hilfe von Hierarchien in Haken Mannigfaltigkeiten Ebenso wie der Spharensatz stellt es einen Zusammenhang zwischen der in algebraischen Begriffen formulierbaren Homotopietheorie und der geometrischen Topologie von 3 Mannigfaltigkeiten her beide Satze bilden die Grundlage fur grosse Teile der Theorie der 3 Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Dehns Lemma 2 Schleifensatz 3 Anwendung Inkompressible Flachen 4 Anwendung Knotentheorie 5 Literatur 6 WeblinksDehns Lemma BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine 3 Mannigfaltigkeit und f D 2 M displaystyle f colon mathbb D 2 rightarrow M nbsp eine stetige Abbildung der Kreisscheibe die auf einer Umgebung U displaystyle U nbsp des Randes D 2 displaystyle partial mathbb D 2 nbsp eine Einbettung mit f 1 f A A displaystyle f 1 f A A nbsp ist Dann gibt es eine Einbettung g D 2 M displaystyle g colon mathbb D 2 rightarrow M nbsp mit f D 2 g D 2 displaystyle f mid partial mathbb D 2 g mid partial mathbb D 2 nbsp Schleifensatz BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine 3 Mannigfaltigkeit F displaystyle F nbsp eine Zusammenhangskomponente des Randes M displaystyle partial M nbsp Wenn p 1 F p 1 M displaystyle pi 1 F rightarrow pi 1 M nbsp nicht injektiv ist dann gibt es eine eigentliche Einbettung g D 2 D 2 M F displaystyle g colon mathbb D 2 partial D 2 rightarrow M F nbsp mit g D 2 0 k e r p 1 F p 1 M displaystyle left g mid partial mathbb D 2 right not 0 in ker pi 1 F rightarrow pi 1 M nbsp Allgemeiner wenn unter obigen Voraussetzungen N p 1 F displaystyle N subset pi 1 F nbsp ein Normalteiler und k e r p 1 F p 1 M N displaystyle ker pi 1 F rightarrow pi 1 M setminus N not emptyset nbsp ist dann gibt es eine eigentliche Einbettung g D 2 D 2 M F displaystyle g colon mathbb D 2 partial D 2 rightarrow M F nbsp mit g D 2 N displaystyle left g mid partial mathbb D 2 right not in N nbsp Anwendung Inkompressible Flachen BearbeitenEine in einer 3 Mannigfaltigkeit eigentlich eingebettete oder in den Rand eingebettete Flache F M displaystyle F subset M nbsp vom Geschlecht g 1 displaystyle g geq 1 nbsp heisst inkompressibel wenn es keine in M displaystyle M nbsp eingebettete Kreisscheibe D M displaystyle mathbb D subset M nbsp mit D F D displaystyle mathbb D cap F partial mathbb D nbsp und D 0 p 1 F displaystyle left partial D right not 0 in pi 1 F nbsp gibt Eine unmittelbare Anwendung des Schleifensatzes liefert die folgende homotopietheoretische Charakterisierung zweiseitiger inkompressibler Flachen vom Geschlecht g 1 displaystyle g geq 1 nbsp Eine in einer 3 Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp eigentlich eingebettete oder in den Rand eingebettete zusammenhangende zweiseitige Flache F displaystyle F nbsp vom Geschlecht g 1 displaystyle g geq 1 nbsp ist inkompressibel genau dann wenn p 1 F p 1 M displaystyle pi 1 F rightarrow pi 1 M nbsp injektiv ist Anwendung Knotentheorie BearbeitenIn der Knotentheorie folgt aus Dehns Lemma dass der triviale Knoten mittels der Knotengruppe das heisst der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements charakterisiert werden kann Ein Knoten K S 3 displaystyle K subset S 3 nbsp ist genau dann trivial wenn p 1 S 3 K Z displaystyle pi 1 S 3 setminus K cong mathbb Z nbsp gilt Literatur BearbeitenJohn Hempel 3 manifolds Reprint of the 1976 original AMS Chelsea Publishing Providence RI 2004 ISBN 0 8218 3695 1 William Jaco Lectures on three manifold topology CBMS Regional Conference Series in Mathematics 43 American Mathematical Society Providence R I 1980 ISBN 0 8218 1693 4 C D Papakyriakopoulos On Dehn s lemma and the asphericity of knots In Ann of Math Band 66 Nr 1 1957 S 1 26 F Waldhausen The word problem in fundamental groups of sufficiently large irreducible 3 manifolds In Ann of Math Band 88 Nr 2 1968 S 272 280 John Stallings Group theory and three dimensional manifolds James K Whittemore Lectures in Mathematics Yale Mathematical Monographs 4 Yale University Press New Haven Conn London 1971 ISBN 0 300 01397 3 Weblinks BearbeitenHatcher Notes on Basic 3 Manifold Topology PDF 665 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dehns Lemma amp oldid 234313944