Das Lemma von Calderon Zygmund ist ein mathematisches Resultat aus dem Bereich der Fourieranalyse beziehungsweise der harmonischen Analysis Es wurde nach den Mathematikern Alberto Calderon und Antoni Zygmund benannt Das Lemma zeigt eine Moglichkeit eine integrierbare Funktion in ihre kleinen und grossen Anteile aufzuspalten und die grossen Anteile zu kontrollieren Diese Zerlegung ist zum Beispiel essentiell fur den Beweis der atomaren Zerlegung von reellen Hardy Funktionen Lemma von Calderon Zygmund BearbeitenSei f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp eine nicht negative integrierbare Funktion und sei a displaystyle alpha nbsp eine positive Konstante Dann existiert eine Zerlegung von R n displaystyle mathbb R n nbsp mit den folgenden Eigenschaften R n F W displaystyle mathbb R n F cup Omega nbsp mit F W displaystyle F cap Omega emptyset nbsp f x a displaystyle f x leq alpha nbsp fast uberall in F displaystyle F nbsp W displaystyle Omega nbsp ist die Vereinigung von WurfelnW k Q k displaystyle Omega bigcup k Q k nbsp dd wobei das Innere jedes Wurfels disjunkt zum Inneren jedes anderen Wurfels ist Ausserdem gilt fur jeden Wurfel Q k displaystyle Q k nbsp die Ungleichunga lt 1 m Q k Q k f x d m x 2 n a displaystyle alpha lt frac 1 m Q k int Q k f x mathrm d m x leq 2 n alpha nbsp dd Hierbei bezeichnet m Q k displaystyle m Q k nbsp ein Mass von Q k displaystyle Q k nbsp Calderon Zygmund Zerlegung BearbeitenSei f L 1 displaystyle f in L 1 nbsp eine integrierbare Funktion und b displaystyle beta nbsp eine positive Konstante mit b gt 1 m R n R n f x d m x displaystyle beta gt frac 1 m mathbb R n int mathbb R n f x mathrm d m x nbsp Dann existiert eine Zerlegung f g b displaystyle f g b nbsp mit b k 1 b k displaystyle textstyle b sum k 1 infty b k nbsp und eine Folge von Wurfel oder Ballen Q k k N displaystyle Q k k in mathbb N nbsp mit folgenden Eigenschaften g x c b displaystyle g x leq c beta nbsp fur fast alle x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp Jede Funktion b k displaystyle b k nbsp hat ihren Trager in dem Wurfel Ball Q k displaystyle Q k nbsp und es gilt Q k b k x d m x c b m B k displaystyle int Q k b k x mathrm d m x leq c beta m B k nbsp und Q k b k x d m x 0 displaystyle int Q k b k x mathrm d m x 0 nbsp dd k m Q k c b R n f x d m x displaystyle sum k m Q k leq frac c beta int mathbb R n f x mathrm d m x nbsp Literatur BearbeitenElias M Stein Harmonic Analysis Real Variable Methods Orthogonality and Oscillatory Integrals Princeton University Press 1993 ISBN 0 691 03216 5 Elias M Stein Singular Integrals And Differentiability Properties Of Functions Princeton University Press 1970 ISBN 0 691 08079 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Calderon Zygmund amp oldid 204683747
