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Lebensversicherungsmathematik Die ist ein Teilgebiet der Versicherungsmathematik Vereinfacht gesprochen gibt es zwei Art

Lebensversicherungsmathematik

Die Lebensversicherungsmathematik ist ein Teilgebiet der Versicherungsmathematik. Vereinfacht gesprochen gibt es zwei Arten von Lebensversicherungen, die Versicherung auf den Todesfall (zum Schutz für die Hinterbliebenen) und die Versicherung auf den Erlebensfall (als Vorsorge für das Alter). Im Detail gibt es dann weitere Unterschiede z. B. zwischen Versicherung auf ein oder mehrere Leben (z. B. Ehe, Gruppen, …) sowie Lebensversicherungen unter einem Risiko oder unter mehreren Risiken (z. B. Invalidität, Tod, …). Im Folgenden wird exemplarisch eine Lebensversicherung auf ein unter einem Risiko stehendes Leben betrachtet. Lebensversicherungsmathematik ist eine Kopplung von deterministischer Finanzmathematik (insbesondere Zinsrechnung wegen langjähriger Laufzeit) und Wahrscheinlichkeitstheorie (wegen des zufälligen Todeszeitpunktes).

Leistungen und Prämien Bearbeiten

Prämie ist der versicherungstechnische Ausdruck für Versicherungsbeitrag. Sei der als fix angenommene Zinssatz, der Abzinsungsfaktor und der Zeitpunkt des Todes. Wir betrachten im Folgenden jeweils die Summe der auf Vertragsbeginn abgezinsten Versicherungsleistungen und die entsprechend abgezinsten Prämienzahlungen. Zur Vereinfachung wird angenommen, dass Leistungen und Prämien am Jahresende oder am Jahresanfang gewährt bzw. gefordert werden (die sogenannte unterjährige Betrachtung ist dann lediglich eine Verfeinerung). In diesem Zusammenhang wird das Intervall als "das Jahr " nach Vertragsbeginn bezeichnet.

Versicherung auf den Todesfall Bearbeiten

Wenn die Person im Jahr nach Vertragsabschluss stirbt, d. h. , dann wird am Ende des Jahres , d. h. nachschüssig, die Leistung fällig. Die auf Vertragsbeginn abgezinste Versicherungsleistung beträgt also

Dabei bezeichnet die Indikatorfunktion. Die Folge heißt (nachschüssiger) Leistungsplan im Todesfall.

Versicherung auf Erlebensfall Bearbeiten

Falls die Person im Jahr noch lebt, wird am Anfang des Jahres , d. h. vorschüssig, die Leistung fällig. Die auf Vertragsbeginn abgezinste Leistung ist dann

Die Folge heißt (vorschüssiger) Leistungsplan im Erlebensfall.

Gemischte Versicherung Bearbeiten

Wir betrachten beispielsweise eine -jährige Todesfallversicherung kombiniert mit einer um Jahre aufgeschobenen Erlebensfallversicherung. Die abgezinste Leistung ist dann

Prämien Bearbeiten

Am Anfang des Jahres , also vorschüssig, wird die Prämie fällig, wenn die Person im Jahr noch lebt. Abgezinst auf Vertragsbeginn lautet die Gesamtprämienzahlung

Die Folge heißt (vorschüssiger) Prämienplan.

Äquivalenzprinzip Bearbeiten

Vom Versicherungsnehmer wird als gerecht empfunden, wenn die zu erwartenden Prämienzahlungen mit den zu erwartenden Leistungen übereinstimmen. Diese Übereinstimmung wird Äquivalenzprinzip genannt. Die Größen hängen vom Todeszeitpunkt ab. Da dieser Zeitpunkt zufällig ist, kommt nun die Wahrscheinlichkeitstheorie ins Spiel. Es bezeichne das Alter der Person zu Vertragsbeginn und die zufällige Restlebensdauer dieses -Jährigen. Das Äquivalenzprinzip fordert

Dabei bezeichnet den Erwartungswertoperator. Aus der in der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannten Tatsache, dass für eine Zufallsgröße stets gilt, lassen sich die obigen Erwartungswerte leicht berechnen:

Die Wahrscheinlichkeiten in diesen Formeln müssen geschätzt werden. Dies geschieht in der Regel mit Hilfe von Sterbetafeln.

Prämienkalkulation Bearbeiten

Für gewünschte Leistungen des Versicherungsvertrages kann man mit dem Äquivalenzprinzip den dazu nötigen Prämienplan berechnen. Diese Prämien heißen Nettoprämien. Für Versicherungsnehmer und Versicherungsunternehmen ist es jedoch nicht ausreichend, in der Prämienkalkulation nur die Erwartungswerte von Prämien und Leistungen zu berücksichtigen. Langfristige Sicherheit gibt es nur, wenn man auch die Volatilität dieser Größen (z. B. deren Varianz ) durch einen Sicherheitszuschlag beachtet. Nettoprämie plus Sicherheitszuschlag ergibt die sogenannte Risikoprämie. Die Prämie, die der Versicherungsnehmer schließlich bezahlen muss, die sogenannte Bruttoprämie, ist noch höher, weil zur Risikoprämie z. B. noch Betriebskosten und der einkalkulierte Unternehmensgewinn dazukommen.

Literaturhinweise Bearbeiten

  • Gerber, H.U. (1986): Lebensversicherungsmathematik, Springer Berlin-Heidelberg-New York
  • Milbrodt, H. und Helbig, M. (1999): Mathematische Methoden der Personenversicherung, DeGruyter, Berlin
  • Schmidt, K.D. (2009, dritte Auflage): Versicherungsmathematik, Springer Dordrecht-Heidelberg-London-New York
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Die Lebensversicherungsmathematik ist ein Teilgebiet der Versicherungsmathematik Vereinfacht gesprochen gibt es zwei Arten von Lebensversicherungen die Versicherung auf den Todesfall zum Schutz fur die Hinterbliebenen und die Versicherung auf den Erlebensfall als Vorsorge fur das Alter Im Detail gibt es dann weitere Unterschiede z B zwischen Versicherung auf ein oder mehrere Leben z B Ehe Gruppen sowie Lebensversicherungen unter einem Risiko oder unter mehreren Risiken z B Invaliditat Tod Im Folgenden wird exemplarisch eine Lebensversicherung auf ein unter einem Risiko stehendes Leben betrachtet Lebensversicherungsmathematik ist eine Kopplung von deterministischer Finanzmathematik insbesondere Zinsrechnung wegen langjahriger Laufzeit und Wahrscheinlichkeitstheorie wegen des zufalligen Todeszeitpunktes Inhaltsverzeichnis 1 Leistungen und Pramien 1 1 Versicherung auf den Todesfall 1 2 Versicherung auf Erlebensfall 1 3 Gemischte Versicherung 1 4 Pramien 2 Aquivalenzprinzip 3 Pramienkalkulation 4 LiteraturhinweiseLeistungen und Pramien BearbeitenPramie ist der versicherungstechnische Ausdruck fur Versicherungsbeitrag Sei i displaystyle i nbsp der als fix angenommene Zinssatz v 1 i 1 displaystyle v 1 i 1 nbsp der Abzinsungsfaktor und t 0 displaystyle t in 0 infty nbsp der Zeitpunkt des Todes Wir betrachten im Folgenden jeweils die Summe der auf Vertragsbeginn abgezinsten Versicherungsleistungen und die entsprechend abgezinsten Pramienzahlungen Zur Vereinfachung wird angenommen dass Leistungen und Pramien am Jahresende oder am Jahresanfang gewahrt bzw gefordert werden die sogenannte unterjahrige Betrachtung ist dann lediglich eine Verfeinerung In diesem Zusammenhang wird das Intervall k 1 k k 1 2 displaystyle k 1 k quad k 1 2 cdots nbsp als das Jahr k displaystyle k nbsp nach Vertragsbeginn bezeichnet Versicherung auf den Todesfall Bearbeiten Wenn die Person im Jahr k displaystyle k nbsp nach Vertragsabschluss stirbt d h t k 1 k displaystyle t in k 1 k nbsp dann wird am Ende des Jahres k displaystyle k nbsp d h nachschussig die Leistung d k displaystyle delta k nbsp fallig Die auf Vertragsbeginn abgezinste Versicherungsleistung betragt also D t k 1 v k d k x k 1 k t v d 1 falls Tod im Jahr 1 v 2 d 2 falls Tod im Jahr 2 v k d k falls Tod im Jahr k displaystyle Delta t sum k 1 infty v k delta k chi k 1 k t begin cases v delta 1 amp text falls Tod im Jahr 1 v 2 delta 2 amp text falls Tod im Jahr 2 vdots v k delta k amp text falls Tod im Jahr k vdots end cases nbsp Dabei bezeichnet x displaystyle chi nbsp die Indikatorfunktion Die Folge d 1 d 2 displaystyle delta 1 delta 2 cdots quad nbsp heisst nachschussiger Leistungsplan im Todesfall Versicherung auf Erlebensfall Bearbeiten Falls die Person im Jahr k displaystyle k nbsp noch lebt wird am Anfang des Jahres k displaystyle k nbsp d h vorschussig die Leistung l k displaystyle lambda k nbsp fallig Die auf Vertragsbeginn abgezinste Leistung ist dann L t k 1 v k 1 l k x k 1 t l 1 falls Tod im Jahr 1 l 1 v l 2 falls Tod im Jahr 2 k 1 m v k 1 l k falls Tod im Jahr m displaystyle Lambda t sum k 1 infty v k 1 lambda k chi k 1 infty t begin cases lambda 1 amp text falls Tod im Jahr 1 lambda 1 v lambda 2 amp text falls Tod im Jahr 2 vdots sum k 1 m v k 1 lambda k amp text falls Tod im Jahr m vdots end cases nbsp Die Folge l 1 l 2 displaystyle lambda 1 lambda 2 cdots quad nbsp heisst vorschussiger Leistungsplan im Erlebensfall Gemischte Versicherung Bearbeiten Wir betrachten beispielsweise eine m displaystyle m nbsp jahrige Todesfallversicherung kombiniert mit einer um m displaystyle m nbsp Jahre aufgeschobenen Erlebensfallversicherung Die abgezinste Leistung ist dann D t L t k 1 m v k d k x k 1 k t k m v k 1 l k x k 1 t displaystyle Delta t Lambda t sum k 1 m v k delta k chi k 1 k t sum k m infty v k 1 lambda k chi k 1 infty t nbsp Pramien Bearbeiten Am Anfang des Jahres k displaystyle k nbsp also vorschussig wird die Pramie p k displaystyle pi k nbsp fallig wenn die Person im Jahr k displaystyle k nbsp noch lebt Abgezinst auf Vertragsbeginn lautet die Gesamtpramienzahlung P t k 1 v k 1 p k x k 1 t displaystyle Pi t sum k 1 infty v k 1 pi k chi k 1 infty t nbsp Die Folge p 1 p 2 displaystyle pi 1 pi 2 cdots quad nbsp heisst vorschussiger Pramienplan Aquivalenzprinzip BearbeitenVom Versicherungsnehmer wird als gerecht empfunden wenn die zu erwartenden Pramienzahlungen mit den zu erwartenden Leistungen ubereinstimmen Diese Ubereinstimmung wird Aquivalenzprinzip genannt Die Grossen D t L t P t displaystyle Delta t Lambda t Pi t nbsp hangen vom Todeszeitpunkt t displaystyle t nbsp ab Da dieser Zeitpunkt zufallig ist kommt nun die Wahrscheinlichkeitstheorie ins Spiel Es bezeichne x displaystyle x nbsp das Alter der Person zu Vertragsbeginn und T x displaystyle T x nbsp die zufallige Restlebensdauer dieses x displaystyle x nbsp Jahrigen Das Aquivalenzprinzip fordert E D T x E L T x E P T x displaystyle operatorname E Delta T x operatorname E Lambda T x 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Versicherungsnehmer und Versicherungsunternehmen ist es jedoch nicht ausreichend in der Pramienkalkulation nur die Erwartungswerte von Pramien und Leistungen zu berucksichtigen Langfristige Sicherheit gibt es nur wenn man auch die Volatilitat dieser Grossen z B deren Varianz durch einen Sicherheitszuschlag beachtet Nettopramie plus Sicherheitszuschlag ergibt die sogenannte Risikopramie Die Pramie die der Versicherungsnehmer schliesslich bezahlen muss die sogenannte Bruttopramie ist noch hoher weil zur Risikopramie z B noch Betriebskosten und der einkalkulierte Unternehmensgewinn dazukommen Literaturhinweise BearbeitenGerber H U 1986 Lebensversicherungsmathematik Springer Berlin Heidelberg New York Milbrodt H und Helbig M 1999 Mathematische Methoden der Personenversicherung DeGruyter Berlin Schmidt K D 2009 dritte Auflage Versicherungsmathematik Springer Dordrecht Heidelberg London New York Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lebensversicherungsmathematik amp oldid 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