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Kruskal Szekeres Koordinaten eingeführt von Martin Kruskal und George Szekeres sind Koordinaten für die Schwarzschild Me

Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Kruskal-Szekeres-Koordinaten, eingeführt von Martin Kruskal und George Szekeres, sind Koordinaten für die Schwarzschild-Metrik, die Metrik, die den Außenraum einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden und elektrisch neutralen Massenverteilung beschreibt.

Kruskal-Diagramm. In der Animation unten repräsentiert jede blaue Hyperbel eine Position bei konstantem Radius. Der Ereignishorizont entspricht den eingezeichneten Diagonalen. Dort ist die Metrik nicht singulär. Die Hyperbeln verschwinden vielmehr erst an den Grenzen des schraffierten Bereichs. Dem schraffierten Bereich oben entspricht in den Schwarzschild-Koordinaten die gesamte Singularität eines sog. Schwarzen Loches bei r=0.
Kruskal-Diagramm – Animation.

Im Gegensatz zu den hierfür oft verwendeten Schwarzschild-Koordinaten werden die Kruskal-Szekeres-Koordinaten am Ereignishorizont () nicht singulär und werden deswegen gerne für die Beschreibung Schwarzer Löcher eingesetzt (präziser: für die Beschreibung durch mitbewegte, interne Beobachter im Gegensatz zu externen Beobachtern, die zum Beispiel im Außenbereich an einen Stern „fixiert“ sind.).

Darstellung Bearbeiten

In den folgenden Formeln wird vereinfachend für die Gravitationskonstante und die Lichtgeschwindigkeit jeweils der Wert angesetzt; sei die Masse des Zentralkörpers. Das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres-Koordinaten lautet dann:

ist gleich dem der Schwarzschild-Koordinaten und implizit gegeben durch:

und ergeben sich aus den Schwarzschild-Koordinaten und durch:

Außen- und Innenraum sind ersichtlich über die Diagonalen hinweg „nahtlos“ miteinander verbunden. Der Ausdruck entspricht der mit einer mitgeführten Uhr gemessenen Eigenzeit.

Forschungsgeschichte Bearbeiten

Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten wurden von Martin Kruskal Mitte der 1950er Jahre gefunden, aber erst um 1959 durch John Archibald Wheeler bekannt gemacht. George Szekeres fand sie 1961. Unabhängig wurden sie auch von Christian Fronsdal 1959 gefunden sowie von David Finkelstein.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Werner Israel: Dark stars: the evolution of an idea. In: Stephen Hawking, Werner Israel (Hrsg.): 300 years of Gravitation. Cambridge University Press, 1987, ISBN 978-0-521-37976-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Kruskal Szekeres Koordinaten eingefuhrt von Martin Kruskal und George Szekeres sind Koordinaten fur die Schwarzschild Metrik die Metrik die den Aussenraum einer kugelsymmetrischen nicht rotierenden und elektrisch neutralen Massenverteilung beschreibt Kruskal Diagramm In der Animation unten reprasentiert jede blaue Hyperbel eine Position bei konstantem Radius Der Ereignishorizont entspricht den eingezeichneten Diagonalen Dort ist die Metrik nicht singular Die Hyperbeln verschwinden vielmehr erst an den Grenzen des schraffierten Bereichs Dem schraffierten Bereich oben entspricht in den Schwarzschild Koordinaten die gesamte Singularitat eines sog Schwarzen Loches bei r 0 Kruskal Diagramm Animation Im Gegensatz zu den hierfur oft verwendeten Schwarzschild Koordinaten werden die Kruskal Szekeres Koordinaten am Ereignishorizont r 2 M displaystyle r 2M nicht singular und werden deswegen gerne fur die Beschreibung Schwarzer Locher eingesetzt praziser fur die Beschreibung durch mitbewegte interne Beobachter im Gegensatz zu externen Beobachtern die zum Beispiel im Aussenbereich an einen Stern fixiert sind Inhaltsverzeichnis 1 Darstellung 2 Forschungsgeschichte 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDarstellung BearbeitenIn den folgenden Formeln wird vereinfachend fur die Gravitationskonstante G displaystyle G nbsp und die Lichtgeschwindigkeit c displaystyle c nbsp jeweils der Wert 1 displaystyle 1 nbsp angesetzt M displaystyle M nbsp sei die Masse des Zentralkorpers Das Linienelement der Schwarzschild Metrik in Kruskal Szekeres Koordinaten lautet dann d s 2 32 M 3 r e r 2 M d v 2 d u 2 r 2 d 8 2 sin 2 8 d ϕ 2 displaystyle ds 2 32M 3 r e r 2M dv 2 du 2 r 2 d theta 2 sin 2 theta d phi 2 nbsp r displaystyle r nbsp ist gleich dem r displaystyle r nbsp der Schwarzschild Koordinaten und implizit gegeben durch r 2 M 1 e r 2 M u 2 v 2 displaystyle left frac r 2M 1 right e r 2M u 2 v 2 nbsp u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp ergeben sich aus den Schwarzschild Koordinaten t displaystyle t nbsp und r displaystyle r nbsp durch u x cosh t 4 M displaystyle u x cosh t 4M nbsp und v x sinh t 4 M displaystyle v x sinh t 4M nbsp wobei x r 2 M 1 e r 4 M displaystyle x sqrt frac r 2M 1 e r 4M nbsp fur r 2 M displaystyle r geq 2M nbsp d h im Aussenraum u x sinh t 4 M displaystyle u x sinh t 4M nbsp und v x cosh t 4 M displaystyle v x cosh t 4M nbsp wobei x 1 r 2 M e r 4 M displaystyle x sqrt 1 frac r 2M e r 4M nbsp fur r lt 2 M displaystyle r lt 2M nbsp d h im Innenraum Aussen und Innenraum sind ersichtlich uber die Diagonalen hinweg nahtlos miteinander verbunden Der Ausdruck d s 2 c 2 displaystyle ds 2 c 2 nbsp entspricht der mit einer mitgefuhrten Uhr gemessenen Eigenzeit Forschungsgeschichte BearbeitenDie Kruskal Szekeres Koordinaten wurden von Martin Kruskal Mitte der 1950er Jahre gefunden aber erst um 1959 durch John Archibald Wheeler bekannt gemacht George Szekeres fand sie 1961 Unabhangig wurden sie auch von Christian Fronsdal 1959 gefunden sowie von David Finkelstein 1 Literatur BearbeitenCharles Misner Kip S Thorne John A Wheeler Gravitation W H Freeman San Francisco 1973 ISBN 0 7167 0344 0Weblinks BearbeitenAndreas Muller Schwarze Locher Das dunkelste Geheimnis der Gravitation Seite 34 PDF Datei 64 kB Andreas Muller Schwarze Locher Schwarzschild LosungEinzelnachweise Bearbeiten Werner Israel Dark stars the evolution of an idea In Stephen Hawking Werner Israel Hrsg 300 years of Gravitation Cambridge University Press 1987 ISBN 978 0 521 37976 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kruskal Szekeres Koordinaten amp oldid 214311554