Das Kriterium von Ermakoff oder das Ermakoffsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der absoluten Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen das nach dem russischen Mathematiker Wassili Petrowitsch Ermakoff 1845 1922 betitelt ist Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Beweis 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenDie Funktion f 0 R displaystyle f colon 0 infty to mathbb R nbsp sei stetig positiv und monoton fallend fur x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp Die Reihe habe die Gestalt displaystyle nbsp A n 1 an n 1 f n displaystyle A sum limits n 1 infty a n sum limits n 1 infty f n nbsp wobei f n displaystyle f n nbsp der Wert der fur x 1 displaystyle x geqq 1 nbsp definierten Funktion f x displaystyle f x nbsp an der Stelle x n displaystyle x n nbsp ist Dann gilt fur die Reihe fur hinreichend grosse x displaystyle x nbsp etwa fur x x0 displaystyle x geqq x 0 nbsp entweder die Ungleichung fur Konvergenz oder die fur Divergenz A konvergent fallsf ex exf x q lt 1divergent fallsf ex exf x 1 displaystyle A colon begin cases text konvergent falls amp Bigg dfrac f e x e x f x leqq q lt 1 Bigg text divergent falls amp dfrac f e x e x f x geqq 1 end cases nbsp 1 Beweis BearbeitenDie erste Ungleichung sei erfullt Fur jedes x x0 displaystyle x geqq x 0 nbsp gilt dann mit der Substitution t eu displaystyle t e u nbsp ex0exf t dt x0xf eu eudu q x0xf t dt displaystyle int limits e x 0 e x f t mathrm d t int limits x 0 x f e u e u mathrm d u leqq q int limits x 0 x f t mathrm d t nbsp daraus folgt 1 q ex0exf t dt q x0xf t dt ex0exf t dt q x0ex0f t dt xexf t dt q x0ex0f t dt displaystyle begin aligned 1 q int limits e x 0 e x f t mathrm d t amp leqq q left int limits x 0 x f t mathrm d t int limits e x 0 e x f t mathrm d t right amp q left int limits x 0 e x 0 f t mathrm d t int limits x e x f t mathrm d t right leqq q int limits x 0 e x 0 f t mathrm d t end aligned nbsp denn es gilt displaystyle nbsp ex gt x displaystyle e x gt x nbsp der Subtrahend in der zweiten runden Klammer ist also positiv In diesem Fall gilt ex0exf t dt q1 q x0ex0f t dt displaystyle int limits e x 0 e x f t mathrm d t leqq frac q 1 q int limits x 0 e x 0 f t mathrm d t nbsp fugen wir zu beiden Seiten das Integral x0ex0f t dt displaystyle int x 0 e x 0 f t mathrm d t nbsp hinzu so erhalten wir x0exf t dt 11 q x0ex0f t dt L displaystyle int limits x 0 e x f t mathrm d t leqq frac 1 1 q int limits x 0 e x 0 f t mathrm d t L nbsp und daraus unter Berucksichtigung von displaystyle nbsp x0xf t dt L x x0 displaystyle int limits x 0 x f t mathrm d t leqq L qquad left x geqq x 0 right nbsp Da mit wachsendem x displaystyle x nbsp auch das Integral wachst besitzt es fur x displaystyle x to infty nbsp einen endlichen Grenzwert x0 f t dt displaystyle int limits x 0 infty f t mathrm d t nbsp nach dem Integralkriterium ist die Reihe displaystyle nbsp also konvergent Nun sei die zweite Ungleichung erfullt Dann ist ex0exf t dt x0xf t dt displaystyle int limits e x 0 e x f t mathrm d t geqq int limits x 0 x f t mathrm d t nbsp und wenn zu beiden Seiten das Integral xex0f t dt displaystyle int x e x 0 f t mathrm d t nbsp addiert wird xexf t dt x0ex0f t dt g gt 0 displaystyle int limits x e x f t mathrm d t geqq int limits x 0 e x 0 f t mathrm d t gamma gt 0 nbsp denn wegen displaystyle nbsp ist x0 lt ex0 displaystyle x 0 lt e x 0 nbsp Jetzt bilden wir eine Zahlenfolge x1 x2 xn 1 xn displaystyle x 1 x 2 ldots x n 1 x n ldots nbsp durch die Festsetzung xn exn 1 displaystyle x n e x n 1 nbsp nach dem Bewiesenen ist xn 1xnf t dt g displaystyle int limits x n 1 x n f t mathrm d t geqq gamma nbsp also x0xnf t dt i 1n xi 1x1f t dt ng displaystyle int limits x 0 x n f t mathrm d t sum limits i 1 n int limits x i 1 x 1 f t mathrm d t geqq n gamma nbsp Damit ist klar dass x0 f t dt limx x0xf t dt displaystyle int limits x 0 infty f t mathrm d t lim limits x to infty int limits x 0 x f t mathrm d t infty nbsp gilt d h nach dem Integralkriterium ist die Reihe displaystyle nbsp divergent 2 Literatur BearbeitenGregor Michailowitsch Fichtenholz Differential und Integralrechnung 2 Hochschulbucher fur Mathematik Band 62 10 Auflage Verlag Harri Deutsch Fismatgis Fizmatgiz Frankfurt am Main Moskau 2009 ISBN 978 3 8171 1279 1 XI Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern S 268 732 S eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche russisch Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Ubersetzt von Brigitte Mai Walter Mai Erstausgabe 1959 Einzelnachweise Bearbeiten Arbeitsblatt I PDF 155 kB Vorlesung Analysis II SoSe 2010 Institut fur Analysis Dynamik und Modellierung Fakultat Mathematik und Physik der Universitat Stuttgart 29 April 2010 S 3 8 S abgerufen am 24 Dezember 2012 Gregor Michailowitsch Fichtenholz Differential und Integralrechnung 2 Hochschulbucher fur Mathematik Band 62 10 Auflage Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main 2009 ISBN 978 3 8171 1279 1 XI Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern S 268 732 S eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 24 Dezember 2012 russisch Kurs differencialnogo i integralnogo ischisleniya Ubersetzt von Brigitte Mai Walter Mai Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kriterium von Ermakoff amp oldid 239448705
