Komplanarität auch Koplanarität oder Coplanarität ist ein Begriff aus der Analytischen Geometrie einem Teilbereich der M

Komplanarität

Komplanarität (auch Koplanarität oder Coplanarität) ist ein Begriff aus der Analytischen Geometrie – einem Teilbereich der Mathematik. Drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, erzeugen eindeutig eine Ebene, in der sie liegen. Mehr als drei Punkte heißen komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen. Entsprechend gelten drei Vektoren als komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer der drei Vektoren lässt sich dann als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen; komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene. Das Adjektiv „komplanar“ kann vom lateinischen „complanere“ (einebnen) abgeleitet werden.

Die drei Vektoren

und

liegen auf einer gemeinsamen Ebene

, sie gelten deshalb als komplanar.

Komplanaritätsuntersuchung Bearbeiten

In der linearen Algebra bedeutet Komplanarität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 2 hat. Zur Untersuchung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren . Für die Komplanarität muss die Gleichung mit erfüllbar sein, wobei nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Lösungsvariablen ermitteln.

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen: Die Vektoren sind komplanar wenn ihr Spatprodukt ist. Auch gilt, dass .

Beispiel Bearbeiten

Beispiel als Konstruktion
Die drei Vektoren

und

liegen auf der Ebene

und sind somit komplanar.

Drei Vektoren und sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

mit

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:

Gleichung (III) ist für und erfüllt:

ist durch eine Linearkombination von und darstellbar:

und es gilt:

Somit sind , und komplanar.

Kollineare Vektoren sind immer auch komplanar, es gibt unendlich viele Ebenen, in denen sie liegen können. Ersetzt man zum Beispiel den obigen Vektor durch , dann sind die Vektoren und kollinear. Eine Komplanaritätsuntersuchung der 3 Vektoren und nach obigem Vorbild ergibt dann s = 0 und r = 2 als Lösungen des neuen Gleichungssystems, woraus die Kollinearität der beiden Vektoren und folgt. Versucht man dagegen den Vektor als Linearkombination der beiden anderen darzustellen, so sieht man auch ohne Rechnung, dass dies unmöglich ist, da diese beiden Vektoren keine Basis des durch und erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind.

Verwendung Bearbeiten

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.

In der Chemie ist z. B. bei Kongeneren von polychlorierten Biphenylen (PCB) die Coplanarität ein wichtiges Kriterium für deren Toxizität: Coplanare bzw. dioxinähnliche PCB sind deutlich toxischer.

Einzelnachweise Bearbeiten

Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 78.
Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 55.
H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 75 – 82.
Chlorierte Biphenyle [MAK Value Documentation in German language, 2013]. In: The MAK-Collection for Occupational Health and Safety. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-60041-0, S. 1–139, doi:10.1002/3527600418.mb0cbphpcbd0055.

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Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 08:18 am

Komplanaritat auch Koplanaritat oder Coplanaritat ist ein Begriff aus der Analytischen Geometrie einem Teilbereich der Mathematik Drei verschiedene Punkte die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen erzeugen eindeutig eine Ebene in der sie liegen Mehr als drei Punkte heissen komplanar wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen 1 Entsprechend gelten drei Vektoren als komplanar wenn sie linear abhangig sind Einer der drei Vektoren lasst sich dann als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene 2 Das Adjektiv komplanar kann vom lateinischen complanere einebnen abgeleitet werden Die drei Vektoren a b displaystyle vec a vec b und c displaystyle vec c liegen auf einer gemeinsamen Ebene E displaystyle mathrm E sie gelten deshalb als komplanar Inhaltsverzeichnis 1 Komplanaritatsuntersuchung 2 Beispiel 3 Verwendung 4 EinzelnachweiseKomplanaritatsuntersuchung BearbeitenIn der linearen Algebra bedeutet Komplanaritat bei Vektoren eines Vektorraums dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 2 hat Zur Untersuchung der Komplanaritat von Vektoren kann eine Komplanaritatsuntersuchung durchgefuhrt werden Gegeben seien drei Vektoren a b c R n displaystyle vec a vec b vec c in mathbb R n nbsp Fur die Komplanaritat muss die Gleichung a a b b g c 0 displaystyle alpha vec a beta vec b gamma vec c vec 0 nbsp mit a b g R displaystyle alpha beta gamma in mathbb R nbsp erfullbar sein wobei a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp nicht gleichzeitig 0 sein durfen Die Losung lasst sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Losungsvariablen a b g displaystyle alpha beta gamma nbsp ermitteln 3 Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum so lasst sich diese Prufung mit dem Spatprodukt durchfuhren Die Vektoren a b c displaystyle vec a vec b vec c nbsp sind komplanar wenn ihr Spatprodukt a b c 0 displaystyle vec a vec b vec c 0 nbsp ist Auch gilt dass det a b c 0 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Ebenen in denen sie liegen konnen Ersetzt man zum Beispiel den obigen Vektor b displaystyle vec b nbsp durch d 1 2 3 displaystyle vec d begin pmatrix 1 2 3 end pmatrix nbsp dann sind die Vektoren a displaystyle vec a nbsp und d displaystyle vec d nbsp kollinear Eine Komplanaritatsuntersuchung der 3 Vektoren a d displaystyle vec a vec d nbsp und c displaystyle vec c nbsp nach obigem Vorbild ergibt dann s 0 und r 2 als Losungen des neuen Gleichungssystems woraus die Kollinearitat der beiden Vektoren a displaystyle vec a nbsp und d displaystyle vec d nbsp folgt Versucht man dagegen den Vektor c displaystyle vec c nbsp als Linearkombination der beiden anderen darzustellen so sieht man auch ohne Rechnung dass dies unmoglich ist da diese beiden Vektoren keine Basis des durch a displaystyle vec a nbsp und b displaystyle vec b nbsp erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind Verwendung BearbeitenKomplanaritatsuntersuchungen werden haufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgefuhrt In der Chemie ist z B bei Kongeneren von polychlorierten Biphenylen PCB die Coplanaritat ein wichtiges Kriterium fur deren Toxizitat Coplanare bzw dioxinahnliche PCB sind deutlich toxischer 4 Einzelnachweise Bearbeiten Chr Durr und andere Analytische Geometrie Leistungskurs Volk und Wissen Verlag Berlin 1998 ISBN 978 3 06 001173 5 S 78 Chr Durr und andere Analytische Geometrie Leistungskurs Volk und Wissen Verlag Berlin 1998 ISBN 978 3 06 001173 5 S 55 H Kramer R Howelmann I Klemisch Analytische Geometrie und Lineare Algebra Verlag Moritz Diesterweg Frankfurt am Main 1989 ISBN 3 425 05301 9 S 75 82 Chlorierte Biphenyle MAK Value Documentation in German language 2013 In The MAK Collection for Occupational Health and Safety Wiley VCH Verlag GmbH amp Co KGaA Weinheim 2013 ISBN 978 3 527 60041 0 S 1 139 doi 10 1002 3527600418 mb0cbphpcbd0055 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplanaritat amp oldid 237198468