www.wikidata.de-de.nina.az

Kernsatz von Schwartz Der oder Satz vom Kern ist eine wichtige mathematische Aussage im Bereich der Distributionentheori

Kernsatz von Schwartz

Der Kernsatz von Schwartz (oder Satz vom Kern) ist eine wichtige mathematische Aussage im Bereich der Distributionentheorie, welche ein Teilgebiet der Funktionalanalysis ist. Sie wurde von dem Mathematiker Laurent Schwartz im Jahr 1952 bewiesen. Diese Aussage wird jedoch nicht auf Grund ihrer Wichtigkeit Kernsatz genannt, sondern weil es sich um eine Aussage über Integralkerne handelt. Diese hier behandelten Integralkerne werden Schwartz-Kerne genannt.

Einleitung Bearbeiten

Mit jeder Funktion kann man einen Integraloperator durch

definieren. Das Symbol bezeichnet die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Außerdem gilt die Identität

für alle und , wobei hier als -Skalarprodukt zu verstehen und das Tensorprodukt zweier Funktionen durch

definiert ist. Im Folgenden soll diese Idee auf die Distributionentheorie erweitert werden. Sei dazu also und . Außerdem darf wieder eine Distribution sein.

Kernsatz von Schwartz Bearbeiten

Jede Distribution definiert eine lineare Abbildung , welche der Identität

genügt und bezüglich der schwach-*-Topologie stetig ist. Das heißt, falls ein Nullfolge ist, so ist auch eine Nullfolge in

Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung genau eine Distribution , so dass gilt.

Diese Distribution heißt Schwartz-Kern.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Kernsatz von Schwartz oder Satz vom Kern ist eine wichtige mathematische Aussage im Bereich der Distributionentheorie welche ein Teilgebiet der Funktionalanalysis ist Sie wurde von dem Mathematiker Laurent Schwartz im Jahr 1952 bewiesen Diese Aussage wird jedoch nicht auf Grund ihrer Wichtigkeit Kernsatz genannt sondern weil es sich um eine Aussage uber Integralkerne handelt Diese hier behandelten Integralkerne werden Schwartz Kerne genannt Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Kernsatz von Schwartz 3 Beispiele 4 LiteraturEinleitung BearbeitenMit jeder Funktion K C X 1 X 2 displaystyle K in C X 1 times X 2 nbsp kann man einen Integraloperator A C c X 2 C X 1 displaystyle A C c X 2 to C X 1 nbsp durch A ϕ x 1 X 2 K x 1 x 2 ϕ x 2 d x 2 displaystyle A phi x 1 int X 2 K x 1 x 2 phi x 2 mathrm d x 2 nbsp definieren Das Symbol C c displaystyle C c nbsp bezeichnet die stetigen Funktionen mit kompaktem Trager Ausserdem gilt die Identitat A ϕ ps K ps ϕ displaystyle langle A phi psi rangle K psi otimes phi nbsp fur alle ps C c X 1 displaystyle psi in C c infty X 1 nbsp und ϕ C c X 2 displaystyle phi in C c infty X 2 nbsp wobei K ps ϕ displaystyle K psi otimes phi nbsp hier als L 2 displaystyle L 2 nbsp Skalarprodukt zu verstehen und das Tensorprodukt zweier Funktionen durch ps ϕ x 1 x 2 ps x 1 ϕ x 2 displaystyle psi otimes phi x 1 x 2 psi x 1 phi x 2 nbsp definiert ist Im Folgenden soll diese Idee auf die Distributionentheorie erweitert werden Sei dazu also K D X 1 X 2 displaystyle K in mathcal D X 1 times X 2 nbsp und ϕ C c X 2 displaystyle phi in C c infty X 2 nbsp Ausserdem darf A ϕ displaystyle A phi nbsp wieder eine Distribution sein Kernsatz von Schwartz BearbeitenJede Distribution K D X 1 X 2 displaystyle K in mathcal D X 1 times X 2 nbsp definiert eine lineare Abbildung A C c X 2 D X 1 displaystyle A C c infty X 2 to mathcal D X 1 nbsp welche der Identitat A ϕ ps K ps ϕ displaystyle langle A phi psi rangle K psi otimes phi nbsp genugt und bezuglich der schwach Topologie stetig ist Das heisst falls ϕ j 0 displaystyle phi j to 0 nbsp ein Nullfolge ist so ist auch A ϕ j 0 displaystyle A phi j to 0 nbsp eine Nullfolge in D X 1 displaystyle mathcal D X 1 nbsp Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung A C c X 2 D X 1 displaystyle A C c infty X 2 to mathcal D X 1 nbsp genau eine Distribution K displaystyle K nbsp so dass A ϕ ps K ps ϕ displaystyle langle A phi psi rangle K psi otimes phi nbsp gilt Diese Distribution K displaystyle K nbsp heisst Schwartz Kern Beispiele BearbeitenDer Identitatsoperator I C c X C c X displaystyle I C c infty X to C c infty X nbsp besitzt als Schwartz Kern das Dirac Delta K x y d x y displaystyle K x y delta x y nbsp Literatur BearbeitenLars Hormander The Analysis of Linear Partial Differential Operators Band 1 Distribution Theory and Fourier Analysis Second Edition Springer Verlag Berlin u a 1990 ISBN 3 540 52345 6 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kernsatz von Schwartz amp oldid 231661173