Die Jacobische Zetafunktion auch Zeta Amplitudinis genannt ist in der Mathematik die logarithmische Ableitung der Jacobischen Theta Funktion Benannt ist sie nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition mit der Thetafunktion 1 2 Definition als unendliche Summe 1 3 Regeln fur die Jacobischen elliptischen Funktionen 2 Darstellung mittels elliptischer Integrale 3 Bezug zur Jacobischen Epsilonfunktion 4 Elliptische Module 4 1 Modultransformationen 4 2 Spezialfalle der Module 5 Literatur 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDefinition mit der Thetafunktion Bearbeiten Das Zeta Amplitudinis ist auf folgende Weise als Ableitung 1 2 vom Logarithmus Naturalis der Thetafunktion ϑ definiert zn u k Z am u k k u ln ϑ 01 1 2 p K k 1 u q k p 2 K k ϑ 01 1 2 p K k 1 u q k ϑ 01 1 2 p K k 1 u q k displaystyle text zn u k mathrm Z text am u k k frac partial partial u ln bigl vartheta 01 bigl tfrac 1 2 pi K k 1 u q k bigr bigr frac pi 2K k frac vartheta 01 bigl tfrac 1 2 pi K k 1 u q k bigr vartheta 01 bigl tfrac 1 2 pi K k 1 u q k bigr nbsp Also ist die grosse Zetafunktion so definiert Z t k zn F t k k displaystyle mathrm Z t k text zn F t k k nbsp Dabei ist die genannte Thetafunktion nach Whittaker und Watson 3 durch diese Produktreihe definiert ϑ 01 x y n 1 1 y 2 n 1 2 cos 2 x y 2 n 1 y 4 n 2 displaystyle vartheta 01 x y prod n 1 infty 1 y 2n 1 2 cos 2x y 2n 1 y 4n 2 nbsp Die Theta Strich Funktion ist die Ableitung der Thetafunktion bezuglich des linken Klammereintrags ϑ 01 x y x ϑ 01 x y displaystyle vartheta 01 x y frac partial partial x vartheta 01 x y nbsp Der Buchstabe K nennt das vollstandige elliptische Integral erster Art K k 2 0 1 1 x 2 1 2 4 k 2 x 2 d x displaystyle K k 2 int 0 1 frac 1 sqrt x 2 1 2 4k 2 x 2 mathrm d x nbsp Die Bezeichnung q k stellt das elliptische Nomen dar q k exp p K 1 k 2 K k 1 displaystyle q k exp pi K sqrt 1 k 2 K k 1 nbsp Analog zur genannten Formel kann diese Zetafunktion auch mit dem Derivat ϑ der klassischen Thetafunktion definiert werden zn u k p 2 K k ϑ 00 1 2 p K k 1 u q k ϑ 00 1 2 p K k 1 u q k k 2 sn u k cd u k displaystyle text zn u k frac pi 2K k frac vartheta 00 bigl tfrac 1 2 pi K k 1 u q k bigr vartheta 00 bigl tfrac 1 2 pi K k 1 u q k bigr k 2 text sn u k text cd u k nbsp Fur das Derivat der klassischen Thetafunktion gilt nach Whittaker und Watson ϑ 00 x y n 1 1 y 2 n 1 2 cos 2 x y 2 n 1 y 4 n 2 displaystyle vartheta 00 x y prod n 1 infty 1 y 2n 1 2 cos 2x y 2n 1 y 4n 2 nbsp Analog zur zuvor genannten Bezeichnung ist dieser Zusammenhang gultig ϑ 00 x y x ϑ 00 x y displaystyle vartheta 00 x y frac partial partial x vartheta 00 x y nbsp Im englischen Sprachraum etablierte sich fur diese Funktion der Name Elliptic Theta Prime als offizielle Bezeichnung Definition als unendliche Summe Bearbeiten Wegen der Definition der Thetafunktion ϑ als Produktreihe kann die Jacobische Zetafunktion auch als unendliche Summenreihe definiert werden Denn der Logarithmus aus dem Produkt ist gleich der Summe der Logarithmen zn u k u n 1 ln 1 q k 2 n 1 2 cos p K k 1 u q k 2 n 1 q k 4 n 2 displaystyle text zn u k frac partial partial u sum n 1 infty ln bigl langle bigl 1 q k 2n bigr bigl 1 2 cos pi K k 1 u q k 2n 1 q k 4n 2 bigr bigr rangle nbsp zn u k n 1 2 p K k 1 sin p K k 1 u q k 2 n 1 1 2 cos p K k 1 u q k 2 n 1 q k 4 n 2 displaystyle text zn u k sum n 1 infty frac 2 pi K k 1 sin pi K k 1 u q k 2n 1 1 2 cos pi K k 1 u q k 2n 1 q k 4n 2 nbsp zn u k p K k n 1 sin p K k 1 u cosh 2 n 1 p K 1 k 2 K k 1 cos p K k 1 u displaystyle text zn u k frac pi K k sum n 1 infty frac sin pi K k 1 u cosh 2n 1 pi K sqrt 1 k 2 K k 1 cos pi K k 1 u nbsp Regeln fur die Jacobischen elliptischen Funktionen Bearbeiten Mit dem Kurzel sn wird der Sinus Amplitudinis genannt sn u k sin am u k displaystyle text sn u k sin text am u k nbsp Und das Kurzel cd steht fur den Quotienten des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Amplitudinis cd u k sn K k u k cos am u k 1 k 2 sin am u k 2 displaystyle text cd u k text sn K k u k frac cos text am u k sqrt 1 k 2 sin text am u k 2 nbsp Mit der Bezeichnung am wird die Jacobi Amplitude zum Ausdruck gebracht am u k 0 1 dn u v k u d v displaystyle text am u k int 0 1 text dn uv k u mathrm d v nbsp Das Kurzel dn beschreibt das Delta Amplitudinis dn u k 1 k 2 4 ϑ 00 1 2 p K k 1 u q k ϑ 01 1 2 p K k 1 u q k 1 displaystyle text dn u k sqrt 4 1 k 2 vartheta 00 tfrac 1 2 pi K k 1 u q k vartheta 01 tfrac 1 2 pi K k 1 u q k 1 nbsp Darstellung mittels elliptischer Integrale BearbeitenDie Ableitung der Jacobischen Zetafunktion ist als Kombination des Delta Amplitudinis und der vollstandigen Elliptischen Integrale darstellbar u zn u k dn u k 2 E k K k displaystyle frac partial partial u text zn u k text dn u k 2 frac E k K k nbsp Die Jacobische Zetafunktion selbst ist die Ursprungsstammfunktion der nun genannten Funktion bezuglich u Somit kann sie mit Hilfe elliptischer Integrale durch die Jacobi Amplitude definiert werden zn u k E am u k k E k K k u displaystyle text zn u k E text am u k k frac E k K k u nbsp Somit gilt fur die grosse Jacobische Zetafunktion Z u k E u k E k K k F u k displaystyle mathrm Z u k E u k frac E k K k F u k nbsp Dabei ist E x k ein unvollstandiges elliptisches Integral zweiter Art und E k E p 2 k ein vollstandiges elliptisches Integral zweiter Art 1 Es gelten folgende Formeln E x k 0 1 x 1 k 2 sin x y 2 d y displaystyle E x k int 0 1 x sqrt 1 k 2 sin xy 2 mathrm d y nbsp E k 2 0 1 x 2 1 2 4 k 2 x 2 x 2 1 2 d x displaystyle E k 2 int 0 1 frac sqrt x 2 1 2 4k 2 x 2 x 2 1 2 mathrm d x nbsp Bezug zur Jacobischen Epsilonfunktion BearbeitenEng verwandt ist die Jacobische Zetafunktion mit der Jacobischen Epsilonfunktion Denn die Epsilonfunktion ist so 4 definiert e u k E am u k k displaystyle varepsilon u k E text am u k k nbsp Somit gilt zn u k e u k E k K k u displaystyle text zn u k varepsilon u k frac E k K k u nbsp Die Jacobische Epsilonfunktion hat dieses Additionstheorem e a b k e a k e b k k 2 sn a k sn b k sn a b k displaystyle varepsilon a b k varepsilon a k varepsilon b k k 2 text sn a k text sn b k text sn a b k nbsp Das Additionstheorem vom Sinus Amplitudinis lautet wie folgt sn a b k sn a k cd b k cd a k sn b k 1 k 2 sn a k cd a k sn b k cd b k displaystyle text sn a b k frac text sn a k text cd b k text cd a k text sn b k 1 k 2 text sn a k text cd a k text sn b k text cd b k nbsp Die Funktionen sn und cd vom selben Wertepaar stehen in jener Beziehung zueinander sn u k 2 cd u k 2 k 2 sn u k 2 cd u k 2 1 displaystyle text sn u k 2 text cd u k 2 k 2 text sn u k 2 text cd u k 2 1 nbsp Basierend auf dem genannten Additionstheorem fur die Jacobische Epsilonfunktion gilt somit auch folgende Beziehung e u 2 K k k e u k 2 E k displaystyle varepsilon u 2K k k varepsilon u k 2E k nbsp Analog zu diesem Additionstheorem gilt das Additionstheorem fur die Jacobische Zetafunktion zn a b k zn a k zn b k k 2 sn a k sn b k sn a b k displaystyle text zn a b k text zn a k text zn b k k 2 text sn a k text sn b k text sn a b k nbsp Dieses zuletzt genannte Additionstheorem ist auch im von Irene Stegun und Milton Abramowitz erstellten Werk Handbuch der mathematischen Funktionen 5 auf der Seite 595 an der Stelle der Formelnummer 17 4 35 behandelt Wegen der Richtigkeit dieses Theorems gilt auch zn K k u k zn u k k 2 sn u k cd u k displaystyle text zn K k u k text zn u k k 2 text sn u k text cd u k nbsp Aus diesem Grund konnen auch die Jacobi Funktionen sn cn und dn mit der Zetafunktion zn definiert werden Elliptische Module BearbeitenModultransformationen Bearbeiten So kann bei der Jacobischen Zetafunktion die Modultransformation durchgefuhrt werden zn u k 1 1 k 2 zn 1 2 1 1 k 2 u k 2 1 1 k 2 2 k 2 sd 1 2 u k cn 1 2 u k cn u k displaystyle text zn u k 1 sqrt 1 k 2 text zn tfrac 1 2 1 sqrt 1 k 2 u k 2 1 sqrt 1 k 2 2 k 2 text sd tfrac 1 2 u k text cn tfrac 1 2 u k text cn u k nbsp Die Bezeichnung sd markiert den Quotienten Sinus Amplitudinis durch Delta Amplitudinis Beispielsweise gilt zn u 1 2 2 1 2 2 2 1 zn 1 4 2 2 1 u 2 1 2 1 2 2 sl 1 4 2 u cl 1 4 2 u cl 1 2 2 u displaystyle text zn u tfrac 1 2 sqrt 2 tfrac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 1 text zn tfrac 1 4 sqrt 2 sqrt 2 1 u sqrt 2 1 2 tfrac 1 2 sqrt 2 text sl tfrac 1 4 sqrt 2 u text cl tfrac 1 4 sqrt 2 u text cl tfrac 1 2 sqrt 2 u nbsp Hierbei stellen sl und cl die Lemniskatischen Funktionen Sinus Lemniscatus und Cosinus Lemniscatus dar Durch zusatzliche Modultransformation kann die Formel so formuliert werden zn u k 1 1 k 2 zn 1 2 1 1 k 2 u k 2 1 1 k 2 2 k 2 1 1 k 2 1 sn 1 2 1 1 k 2 u k 2 1 1 k 2 2 cn u k displaystyle text zn u k 1 sqrt 1 k 2 text zn tfrac 1 2 1 sqrt 1 k 2 u k 2 1 sqrt 1 k 2 2 k 2 1 sqrt 1 k 2 1 text sn tfrac 1 2 1 sqrt 1 k 2 u k 2 1 sqrt 1 k 2 2 text cn u k nbsp Aus diesen Formeln fur die Modultransformation folgen die fur positive und negative rechte Klammereintrage gultigen Ableitungen der Thetafunktionen Diese partiellen Ableitungen nach dem linken Klammereintrag lauten wie folgt ϑ 01 v w v ϑ 01 v w ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 ϑ 01 v w zn v 2 ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 displaystyle vartheta 01 v w frac partial partial v vartheta 01 v w bigl vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 bigr vartheta 01 v w text zn biggl frac v 2 bigl vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 bigr frac vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 biggr nbsp 1 2 ϑ 00 w ϑ 01 w 2 ϑ 01 1 4 p w 2 ϑ 01 1 4 p v w 2 ϑ 01 1 4 p v w 2 ϑ 00 1 2 v w 2 ϑ 01 1 2 v w 2 displaystyle frac 1 2 vartheta 00 w vartheta 01 w 2 vartheta 01 tfrac 1 4 pi w 2 frac vartheta 01 tfrac 1 4 pi v w 2 vartheta 01 tfrac 1 4 pi v w 2 vartheta 00 tfrac 1 2 v w 2 vartheta 01 tfrac 1 2 v w 2 nbsp ϑ 00 v w v ϑ 00 v w ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 ϑ 00 v w zn v 2 ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 ϑ 00 w 2 ϑ 01 w 2 displaystyle vartheta 00 v w frac partial partial v vartheta 00 v w bigl vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 bigr vartheta 00 v w text zn biggl frac v 2 bigl vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 bigr frac vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 vartheta 00 w 2 vartheta 01 w 2 biggr nbsp 1 2 ϑ 01 w ϑ 00 w 2 ϑ 00 1 4 p w 2 ϑ 00 1 4 p v w 2 ϑ 00 1 4 p v w 2 ϑ 00 1 2 v w 2 ϑ 01 1 2 v w 2 displaystyle frac 1 2 vartheta 01 w vartheta 00 w 2 vartheta 00 tfrac 1 4 pi w 2 frac vartheta 00 tfrac 1 4 pi v w 2 vartheta 00 tfrac 1 4 pi v w 2 vartheta 00 tfrac 1 2 v w 2 vartheta 01 tfrac 1 2 v w 2 nbsp Spezialfalle der Module Bearbeiten Wenn der elliptische Modul k den Wert 0 annimmt dann ist die gesamte Funktion gleich Null Wenn der Modul den Wert 1 annimmt dann ist die zn Funktion gleich dem Tangens Hyperbolicus zn u 1 tanh u displaystyle text zn u 1 tanh u nbsp Jedoch gilt lim k 1 zn K k u k 0 tanh K 1 displaystyle lim k rightarrow 1 text zn K k u k 0 neq tanh K 1 nbsp Wenn der Modul den Wert 1 sqrt 2 annimmt dann ist die zn Funktion lemniskatisch beschaffen zn u 1 2 2 E am u 1 2 2 1 2 2 1 2 p ϖ 2 1 u displaystyle text zn u tfrac 1 2 sqrt 2 E text am u tfrac 1 2 sqrt 2 tfrac 1 2 sqrt 2 tfrac 1 2 pi varpi 2 1 u nbsp Denn fur die Ableitung gilt d d u zn u 1 2 2 1 2 cl 1 2 2 u 2 1 2 p ϖ 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d u text zn u tfrac 1 2 sqrt 2 tfrac 1 2 text cl tfrac 1 2 sqrt 2 u 2 tfrac 1 2 pi varpi 2 nbsp Mit dem Symbol ϖ wird die Lemniskatische Konstante dargestellt Literatur BearbeitenChristian Houzel Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale in Jean Dieudonne Hrsg Geschichte der Mathematik 1700 1900 Vieweg 1985 S 462 Kapitel 7 1 10 Leo Koenigsberger Zur Geschichte der Elliptischen Transcendenten in den Jahren 1826 bis 1829 Teubner 1879 S 78 gutenberg Sir Edmund Taylor Whittaker und Professor George Neville Watson A Course in Modern Analysis 4 Auflage Cambridge England 1990 pp 469 470Siehe auch BearbeitenZeta Funktion Thetafunktion Jacobische elliptische FunktionWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Jacobi Zeta Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Abramowitz Milton Stegun Irene A eds 1965 Kapitel 16 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover p 578 ISBN 978 0486612720 MR 0167642 Gradshteyn I S and Ryzhik I M Tables of Integrals Series and Products 6th ed San Diego CA Academic Press 2000 p xxxiv Eric W Weisstein Jacobi Theta Functions Abgerufen am 7 September 2021 englisch DLMF 22 16 Related Functions Abgerufen am 8 September 2021 https personal math ubc ca cbm aands abramowitz and stegun pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jacobische Zetafunktion amp oldid 238828263
