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Inverse Iteration Die inverse Iteration ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren v

Inverse Iteration

Die inverse Iteration ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen. Sie ist eine Variante der Von-Mises-Iteration, mit deren Hilfe allerdings beliebige Eigenwerte berechnet werden können. Das Verfahren wurde 1944 von Helmut Wielandt bei der Stabilitätsanalyse von Strukturen, die kleine Störungen bekannter Systeme sind, eingeführt. In diesem Fall sind gute Approximationen für die relevanten Eigenwerte bekannt, und man erhält rasche Konvergenz.

Beschreibung Bearbeiten

Ist ein Eigenwert der quadratischen Matrix und der zugehörige Eigenvektor, so ist ein Eigenwert von zum Eigenvektor , wobei die Einheitsmatrix ist. Des Weiteren ist dann ein Eigenwert von zum Eigenvektor . Ist nun der Eigenwert von , der am nächsten liegt, so ist der betragsmäßig größte Eigenwert von . Wendet man nun auf die Potenzmethode an, so konvergiert gegen den Eigenvektor zum Eigenwert von , der am nächsten liegt.

Statt wie bei der Potenzmethode in jedem Schritt die Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, wird nun ein lineares Gleichungssystem gelöst, da nicht explizit verfügbar ist. Diese Matrix ist schlechter konditioniert, je näher an liegt, allerdings hat der Fehler eine dominante Komponente in Richtung des gesuchten Eigenvektors, so dass das Verfahren praktisch nutzbar ist.

Algorithmus Bearbeiten

Gegeben sei eine quadratische Matrix , ein Startvektor und ein Shift so dass regulär ist. Der Startvektor kann bis auf eine Lebesgue-Nullmenge beliebig gewählt werden.

Für

  2. Löse

Über den Rayleigh-Quotienten erhält man eine Näherung für den zugehörigen Eigenwert.

Erweiterungen Bearbeiten

Wählt man in jedem Schritt über einen neuen Shift so erhält man die Rayleigh-Quotienten-Iteration.

Literatur Bearbeiten

  • Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations
  • James H. Wilkinson: The Algebraic Eigenvalue Problem
  • Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.
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Veröffentlichungsdatum:
Die inverse Iteration ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren von Matrizen Sie ist eine Variante der Von Mises Iteration mit deren Hilfe allerdings beliebige Eigenwerte berechnet werden konnen Das Verfahren wurde 1944 von Helmut Wielandt bei der Stabilitatsanalyse von Strukturen die kleine Storungen bekannter Systeme sind eingefuhrt In diesem Fall sind gute Approximationen fur die relevanten Eigenwerte bekannt und man erhalt rasche Konvergenz Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Algorithmus 3 Erweiterungen 4 LiteraturBeschreibung BearbeitenIst l displaystyle lambda nbsp ein Eigenwert der quadratischen Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp und x displaystyle x nbsp der zugehorige Eigenvektor so ist l 8 displaystyle lambda theta nbsp ein Eigenwert von A 8 I displaystyle A theta I nbsp zum Eigenvektor x displaystyle x nbsp wobei I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix ist Des Weiteren ist dann 1 l 8 displaystyle frac 1 lambda theta nbsp ein Eigenwert von A 8 I 1 displaystyle A theta I 1 nbsp zum Eigenvektor x displaystyle x nbsp Ist l displaystyle lambda nbsp nun der Eigenwert von A displaystyle A nbsp der 8 displaystyle theta nbsp am nachsten liegt so ist 1 l 8 displaystyle frac 1 lambda theta nbsp der betragsmassig grosste Eigenwert von A 8 I 1 displaystyle A theta I 1 nbsp Wendet man nun auf A 8 I 1 displaystyle A theta I 1 nbsp die Potenzmethode an so konvergiert x k displaystyle x k nbsp gegen den Eigenvektor zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp von A displaystyle A nbsp der 8 displaystyle theta nbsp am nachsten liegt Statt wie bei der Potenzmethode in jedem Schritt die Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren wird nun ein lineares Gleichungssystem gelost da A 8 I 1 displaystyle A theta I 1 nbsp nicht explizit verfugbar ist Diese Matrix ist schlechter konditioniert je naher l displaystyle lambda nbsp an 8 displaystyle theta nbsp liegt allerdings hat der Fehler eine dominante Komponente in Richtung des gesuchten Eigenvektors so dass das Verfahren praktisch nutzbar ist Algorithmus BearbeitenGegeben sei eine quadratische Matrix A C n n displaystyle A in mathbb C n times n nbsp ein Startvektor x 0 R n displaystyle x 0 in mathbb R n nbsp und ein Shift 8 R displaystyle theta in mathbb R nbsp so dass A 8 I displaystyle A theta I nbsp regular ist Der Startvektor kann bis auf eine Lebesgue Nullmenge beliebig gewahlt werden Fur k 1 2 displaystyle k 1 2 nbsp q k x k 1 x k 1 displaystyle q k frac x k 1 x k 1 nbsp Lose A 8 I x k q k displaystyle A theta I x k q k nbsp Uber den Rayleigh Quotienten erhalt man eine Naherung fur den zugehorigen Eigenwert l k x k T A x k x k T x k displaystyle lambda k frac x k T Ax k x k T x k nbsp Erweiterungen BearbeitenWahlt man in jedem Schritt uber 8 l k displaystyle theta lambda k nbsp einen neuen Shift so erhalt man die Rayleigh Quotienten Iteration Literatur BearbeitenGene H Golub Charles F van Loan Matrix Computations James H Wilkinson The Algebraic Eigenvalue Problem Hans Rudolf Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 5 uberarbeitete Auflage Teubner Stuttgart u a 2004 ISBN 3 519 42960 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Inverse Iteration amp oldid 178014568