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Induktive Menge Als induktive Mengen werden in der Mathematik Mengen M displaystyle M bezeichnet die die leere Menge dis

Induktive Menge

Als induktive Mengen werden in der Mathematik Mengen bezeichnet, die die leere Menge enthalten und wo für jede Menge auch deren Nachfolgemenge enthalten ist. Das Unendlichkeitsaxiom besagt, dass es eine induktive Menge gibt.

Definition Bearbeiten

Eine Menge ist genau dann eine induktive Menge, wenn sie die zwei folgenden Eigenschaften

erfüllt, wobei den Nachfolger von bezeichnet.

Bedeutung in der Mathematik Bearbeiten

Natürliche Zahlen Bearbeiten

Mit Hilfe der induktiven Mengen wird in der Mengenlehre die Menge der natürlichen Zahlen definiert nach einer Idee von Richard Dedekind:

Da der Schnitt von induktiven Mengen wieder induktiv ist, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste induktive Menge. besteht also aus den iterierten Nachfolgern der leeren Menge:

Um die natürlichen Zahlen so definieren zu können, benötigt man zwei Axiome: Das Unendlichkeitsaxiom und das Aussonderungsaxiom: Das Unendlichkeitsaxiom stellt sicher, dass es mindestens eine induktive Menge gibt. Wenn man nun jedoch den Schnitt über alle induktiven Mengen bildet, erhält man damit die Klasse der natürlichen Zahlen. Das Aussonderungsaxiom stellt sicher, dass der Schnitt über Mengen ebenfalls eine Menge ist und dass die Klasse der Natürlichen Zahlen damit auch wirklich eine Menge ist.

Innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre kann gezeigt werden, dass die so konstruierte Menge die Peano-Axiome erfüllt. fängt also den intuitiven Begriff der natürlichen Zahl mengentheoretisch exakt ein. Statt und schreibt man daher wie in der Arithmetik meist bzw. .

Mithilfe der Definition über induktive Mengen lässt sich die Beweismethode der vollständigen Induktion rechtfertigen (daher auch der Name induktiv): Soll gezeigt werden, dass alle natürlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft haben, so betrachte die Menge . Zeigt man nun, dass gilt und aus auch folgt, so ist induktiv. Da kleinste induktive Menge ist, gilt und somit . Also hat jede natürliche Zahl Eigenschaft .

Transfinite Ordinalzahlen Bearbeiten

Weitere induktive Mengen sind die transfiniten Ordinalzahlen, beispielsweise . Hier sind die natürlichen Zahlen als Teilmenge enthalten, jedoch ist eine unendliche Ordinalzahl, d. h. größer als jede natürliche Zahl.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 6, 71.β, reduziert per Definition 44, 37 und 17 in etwas ungewöhnlicher Terminologie mit implizit definierter Nachfolgerzahl. In freier Verbalisierung mit Verweis auf Dedekind übernommen in die Zermelo-Mengenlehre.
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Als induktive Mengen werden in der Mathematik Mengen M displaystyle M bezeichnet die die leere Menge displaystyle emptyset enthalten und wo fur jede Menge x displaystyle x auch deren Nachfolgemenge x x x displaystyle x x cup x enthalten ist Das Unendlichkeitsaxiom besagt dass es eine induktive Menge gibt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bedeutung in der Mathematik 2 1 Naturliche Zahlen 2 2 Transfinite Ordinalzahlen 3 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Menge M displaystyle M nbsp ist genau dann eine induktive Menge wenn sie die zwei folgenden Eigenschaften M displaystyle emptyset in M nbsp x M x M displaystyle forall x in M x in M nbsp erfullt wobei x x x displaystyle x x cup x nbsp den Nachfolger von x displaystyle x nbsp bezeichnet Bedeutung in der Mathematik BearbeitenNaturliche Zahlen Bearbeiten Mit Hilfe der induktiven Mengen wird in der Mengenlehre die Menge der naturlichen Zahlen definiert nach einer Idee von Richard Dedekind 1 N x x induktiv displaystyle begin aligned mathbb N bigcap x mid x text induktiv end aligned nbsp Da der Schnitt von induktiven Mengen wieder induktiv ist ist die Menge der naturlichen Zahlen die kleinste induktive Menge N displaystyle mathbb N nbsp besteht also aus den iterierten Nachfolgern der leeren Menge N 0 1 2 3 displaystyle mathbb N emptyset emptyset emptyset emptyset ldots 0 1 2 3 ldots nbsp Um die naturlichen Zahlen so definieren zu konnen benotigt man zwei Axiome Das Unendlichkeitsaxiom und das Aussonderungsaxiom Das Unendlichkeitsaxiom stellt sicher dass es mindestens eine induktive Menge gibt Wenn man nun jedoch den Schnitt uber alle induktiven Mengen bildet erhalt man damit die Klasse der naturlichen Zahlen Das Aussonderungsaxiom stellt sicher dass der Schnitt uber Mengen ebenfalls eine Menge ist und dass die Klasse der Naturlichen Zahlen damit auch wirklich eine Menge ist Innerhalb der Zermelo Fraenkel Mengenlehre kann gezeigt werden dass die so konstruierte Menge N displaystyle mathbb N nbsp die Peano Axiome erfullt N displaystyle mathbb N nbsp fangt also den intuitiven Begriff der naturlichen Zahl mengentheoretisch exakt ein Statt x displaystyle x nbsp und displaystyle emptyset nbsp schreibt man daher wie in der Arithmetik meist x 1 displaystyle x 1 nbsp bzw 0 displaystyle 0 nbsp Mithilfe der Definition uber induktive Mengen lasst sich die Beweismethode der vollstandigen Induktion rechtfertigen daher auch der Name induktiv Soll gezeigt werden dass alle naturlichen Zahlen eine bestimmte Eigenschaft e displaystyle e nbsp haben so betrachte die Menge E n N e n N displaystyle E n in mathbb N mid e n subseteq mathbb N nbsp Zeigt man nun dass e 0 displaystyle e 0 nbsp gilt und aus e n displaystyle e n nbsp auch e n 1 displaystyle e n 1 nbsp folgt so ist E displaystyle E nbsp induktiv Da N displaystyle mathbb N nbsp kleinste induktive Menge ist gilt N E displaystyle mathbb N subseteq E nbsp und somit N E displaystyle mathbb N E nbsp Also hat jede naturliche Zahl Eigenschaft e displaystyle e nbsp Transfinite Ordinalzahlen Bearbeiten Weitere induktive Mengen sind die transfiniten Ordinalzahlen beispielsweise w w 0 1 2 n n 1 w w 1 w 2 displaystyle omega omega 0 1 2 ldots n n 1 ldots omega omega 1 omega 2 ldots nbsp Hier sind die naturlichen Zahlen als Teilmenge enthalten jedoch ist w displaystyle omega nbsp eine unendliche Ordinalzahl d h grosser als jede naturliche Zahl Einzelnachweise Bearbeiten Richard Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen Vieweg Braunschweig 1888 6 71 b reduziert per Definition 44 37 und 17 in etwas ungewohnlicher Terminologie mit implizit definierter Nachfolgerzahl In freier Verbalisierung mit Verweis auf Dedekind ubernommen in die Zermelo Mengenlehre Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Induktive Menge amp oldid 238682302