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Hyperbolischer Knoten In der Knotentheorie einem Teilgebiet der Mathematik bilden hyperbolische Knoten die bei weitem gr

Hyperbolischer Knoten

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden hyperbolische Knoten die bei weitem größte Klasse von Knoten.

Definition Bearbeiten

Ein Knoten heißt hyperbolisch, wenn sein Komplement eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist, also eine vollständige Riemannsche Metrik endlichen Volumens der Schnittkrümmung konstant −1 trägt.

Allgemeiner definiert man eine Verschlingung als hyperbolisch, wenn ihr Komplement eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist.

Charakterisierung Bearbeiten

Ein Knoten ist genau dann hyperbolisch, wenn er kein Torusknoten und kein Satellitenknoten ist.

Von den 1.701.936 Primknoten der Kreuzungszahl kleiner oder gleich 16 sind 1.701.903 hyperbolisch, also mehr als 99,99 %.

Invarianten Bearbeiten

Achterknoten

Aus dem Mostowschen Starrheitssatz folgt, dass eine vollständige hyperbolische Metrik endlichen Volumens auf einem Knotenkomplement bis auf Isometrie eindeutig bestimmt ist. Deshalb geben geometrische Invarianten der hyperbolischen Metrik dann topologische Knoteninvarianten.

Insbesondere das hyperbolische Volumen hat sich als nützliche Invariante zur Messung der Komplexität von Knotenkomplementen erwiesen. Andere geometrisch definierte Invarianten sind die Chern-Simons-Invariante und das Längenspektrum.

Der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist der Achterknoten mit einem Volumen von 2,0298...

Hyperbolische Dehn-Chirurgie Bearbeiten

Der Zugang zur Knotentheorie mittels hyperbolischer Geometrie entwickelte sich als Spezialfall von Thurstons Zugang zur Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten mittels Geometrisierung.

Thurston benutzte die Deformationstheorie unvollständiger hyperbolischer Metriken auf Knotenkomplementen, um zu beweisen, dass fast alle Dehn-Chirurgien an einem hyperbolischen Knoten eine geschlossene hyperbolische Mannigfaltigkeit geben (Hyperbolische Dehn-Chirurgie).

Software Bearbeiten

Das Programm SnapPea findet die hyperbolische Struktur auf einem Knotenkomplement (falls sie existiert) und berechnet geometrische Invarianten, wie das Volumen, die Chern-Simons-Invariante und die Isometriegruppe.

Literatur Bearbeiten

  • Colin Adams, Das Knotenbuch, Spektrum Akademischer Verlag (1995), ISBN 978-3860253380
  • William Thurston, The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes (1978-1981). online
  • Jessica Purcell, Hyperbolic Knot Theory, American Mathematical Society (2020), ISBN 978-1-4704-5499-9 online

Weblinks Bearbeiten

Commons: Hyperbolic knots and links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. WolframMathWorld: Knot
  2. Cao, C. and Meyerhoff, G. R. "The Orientable Cusped Hyperbolic -Manifolds of Minimum Volume." Invent. Math. 146, 451-478, 2001.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Knotentheorie einem Teilgebiet der Mathematik bilden hyperbolische Knoten die bei weitem grosste Klasse von Knoten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Charakterisierung 3 Invarianten 4 Hyperbolische Dehn Chirurgie 5 Software 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Knoten K S 3 displaystyle K subset S 3 nbsp heisst hyperbolisch wenn sein Komplement eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine vollstandige Riemannsche Metrik endlichen Volumens der Schnittkrummung konstant 1 tragt Allgemeiner definiert man eine Verschlingung als hyperbolisch wenn ihr Komplement eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist Charakterisierung BearbeitenEin Knoten ist genau dann hyperbolisch wenn er kein Torusknoten und kein Satellitenknoten ist Von den 1 701 936 Primknoten der Kreuzungszahl kleiner oder gleich 16 sind 1 701 903 hyperbolisch also mehr als 99 99 1 Invarianten Bearbeiten nbsp AchterknotenAus dem Mostowschen Starrheitssatz folgt dass eine vollstandige hyperbolische Metrik endlichen Volumens auf einem Knotenkomplement bis auf Isometrie eindeutig bestimmt ist Deshalb geben geometrische Invarianten der hyperbolischen Metrik dann topologische Knoteninvarianten Insbesondere das hyperbolische Volumen hat sich als nutzliche Invariante zur Messung der Komplexitat von Knotenkomplementen erwiesen Andere geometrisch definierte Invarianten sind die Chern Simons Invariante und das Langenspektrum Der hyperbolische Knoten kleinsten Volumens ist der Achterknoten mit einem Volumen von 2 0298 2 Hyperbolische Dehn Chirurgie Bearbeiten Hauptartikel Hyperbolische Dehn Chirurgie Der Zugang zur Knotentheorie mittels hyperbolischer Geometrie entwickelte sich als Spezialfall von Thurstons Zugang zur Topologie von 3 Mannigfaltigkeiten mittels Geometrisierung Thurston benutzte die Deformationstheorie unvollstandiger hyperbolischer Metriken auf Knotenkomplementen um zu beweisen dass fast alle Dehn Chirurgien an einem hyperbolischen Knoten eine geschlossene hyperbolische Mannigfaltigkeit geben Hyperbolische Dehn Chirurgie Software BearbeitenDas Programm SnapPea findet die hyperbolische Struktur auf einem Knotenkomplement falls sie existiert und berechnet geometrische Invarianten wie das Volumen die Chern Simons Invariante und die Isometriegruppe Literatur BearbeitenColin Adams Das Knotenbuch Spektrum Akademischer Verlag 1995 ISBN 978 3860253380 William Thurston The geometry and topology of three manifolds Princeton lecture notes 1978 1981 online Jessica Purcell Hyperbolic Knot Theory American Mathematical Society 2020 ISBN 978 1 4704 5499 9 onlineWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Hyperbolic knots and links Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Hyperbolic Knot MathWorld Hyperbolic Knots Handbook of Knot Theory Makoto Sakuma A survey on the impact of Thurston s work on knot theoryEinzelnachweise Bearbeiten WolframMathWorld Knot Cao C and Meyerhoff G R The Orientable Cusped Hyperbolic Manifolds of Minimum Volume Invent Math 146 451 478 2001 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperbolischer Knoten amp oldid 216001371