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Hohmann Transfer Der ist ein energetisch günstiger übergang zwischen zwei Bahnen um einen dominierenden Himmelskörper Di

Hohmann-Transfer

Der Hohmann-Transfer ist ein energetisch günstiger Übergang zwischen zwei Bahnen um einen dominierenden Himmelskörper. Die Transfer-Ellipse (Hohmann-Bahn) verläuft sowohl zur Ausgangsbahn als auch zur Zielbahn tangential; dort ist jeweils ein Kraftstoß nötig, um die Geschwindigkeit anzupassen. Eine solche Skizze findet sich bereits um 1911 bei Ziolkowski. 1925 wurde dieser Transfer von Walter Hohmann als optimal angesehen. Für koplanare, kreisförmige Ausgangs- und Zielbahnen mit einem Radiusverhältnis unter 11,94 ist er das auch, für extremere Verhältnisse und stark gegeneinander geneigte oder gar gegenläufige Bahnen ist ein bi-elliptischer Transfer energetisch günstiger.

Die Hohmann-Bahn (gelb) verbindet zwei Kreisbahnen, z. B. eine erdnahe Bahn (grün, ) mit dem geostationären Orbit (rot, , nicht maßstäblich).

Den idealisierenden Voraussetzungen nahe kommt die Aufgabe, Satelliten aus einer erdnahen in eine geostationäre Umlaufbahn zu bringen, siehe geostationäre Transferbahn. Für Flüge zum Mond oder benachbarten Planeten ist die Zentralfeld-Näherung weniger gut – mit Swing-by-Manövern und zeitraubenden Umwegen lässt sich gegenüber dem analytisch gefundenen Hohmann-Transfer Treibstoff sparen.

Berechnung am Beispiel des Transfers auf die geostationäre Bahn Bearbeiten

Um Satelliten geostationär zu positionieren, werden diese oft zunächst auf eine kreisförmige, niedrige Umlaufbahn gebracht, Low Earth Orbit (LEO), siehe (1) in der Grafik. Ein erster Kraftstoß () bringt den Satelliten auf die elliptische Hohmann-Bahn (2), deren Apogäum im Bereich des Zielorbits (3) liegt. Dort erhöht ein weiterer Kraftstoß () auch das Perigäum der Bahn, die damit wieder kreisförmig ist.

Geschwindigkeiten Bearbeiten

Gesamtenergie-Bilanz beim Hohmann-Übergang zwischen zwei Kreisbahnen mit dem Anfangsradius und dem Endradius . Die schwarze Linie gibt die Energie für Kreisbahnen mit dem jeweiligen Radius an.

Nach der Vis-Viva-Gleichung beträgt die Geschwindigkeit v(r) eines Körpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse a um die Erde:

mit , wobei die Satellitenmasse, die Erdmasse und die Gravitationskonstante sind. Bezeichnen den Perigäums- bzw. LEO-Radius, den Apogäums- bzw. GEO-Radius und die große Halbachse der Transferellipse, so gelten für die Ausgangsgeschwindigkeit vLEO, Perigäumsgeschwindigkeit ve, Apogäumsgeschwindigkeit va sowie Endgeschwindigkeit vGEO die folgenden Gleichungen:

Zahlen Bearbeiten

Folgende Werte seien gegeben:

Dann betragen die gemäß obigen Gleichungen berechneten Bahngeschwindigkeiten:

Daraus ergeben sich die beiden benötigten Geschwindigkeitsänderungen.

Energieaufwand in Abhängigkeit vom Radiusverhältnis Bearbeiten

Die für den Hohmann-Transfer nötige Geschwindigkeits­änderung in Abhängigkeit vom Geschwindigkeits­verhältnis von Ausgangs- und Zielorbit

Die Ellipse des Hohmann-Transfers wird durch die Geschwindigkeiten der Ausgangs- und Zielkreisbahn beschrieben. Um von einer Ausgangskreisbahn in die Ellipse überzugehen sowie am Ziel wieder in eine Kreisbahn zu gelangen, sind zwei Impulsstöße bzw. zwei Geschwindigkeitsänderungen , notwendig. Zur Betrachtung des benötigten Energieaufwandes kann dann auch noch die gesamte Differenz betrachtet werden. Die Transferellipse ist durch die Halbachse beschrieben.

Zur weiteren Diskussion ist es zweckmäßig, die Größe der Dimension Zahl zu betrachten. Mit der Hilfsgröße ergibt sich dann:

Wann sich der Hohmann-Transfer als brauchbar erweist, lässt sich durch genauere Diskussion der Geschwindigkeitsänderung ermitteln. Durch Ableitung und Gleichsetzung mit Null kann ein Extremwert der vorgenannten Formel ermittelt werden:

Die einzige sinnvolle Lösung ergibt sich für . Das Verhältnis für ein Maximum ist also durch den Zusammenhang: gegeben. Weiter ist die Ableitung für jedes streng monoton steigend. D. h., dass sich für jedes größere Verhältnis der Energieaufwand wieder verringert.

Beispiel Bearbeiten

Transferbahn zum Mars Bearbeiten

Transfer Erde→Mars mit 1 Erd-Umlaufbahn (türkis), 2 Hohmann-Transfer-Ellipse (gelb) und 3 Mars-Umlaufbahn (rot)

Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nächsten. Ein Raumschiff oder eine Raumsonde kann diese geometrische Nähe aber nur unter hohem Aufwand nutzen, da in diesem Fall gegen die Bahnbewegung der Erde angeflogen werden müsste.

Nach Hohmann dagegen ist der energetisch günstigste Transfer derjenige, bei dem das Raumfahrzeug den Mars in Konjunktion zu der Position der Erde erreicht, von der aus es gestartet ist. In der Abbildung links umkreist das Raumfahrzeug zunächst die Erde (blaue Umlaufbahn 1), wechselt dann am in der Abbildung unteren Schnittpunkt (von 1 mit 2) durch einen Schubimpuls zum Transfer via der elliptischen Hohmann-Bahn (gelbe Transferbahn 2), bis sie am in der Abbildung oberen Schnittpunkt (von 2 mit 3) den Mars erreicht, um durch einen weiteren Schubimpuls nun diesen zu umkreisen (rote Umlaufbahn 3). Dabei grenzt die Transferellipse in den beiden Positionen auf der Hauptachse jeweils tangential an die Umlaufbahn der Erde bzw. an die vom Mars und die Sonne steht in einem ihrer Brennpunkte. Daher ist die doppelte große Halbachse der Transferellipse die Summe der Entfernungen von der Erde zur Sonne und von der Sonne zum Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von achteinhalb Monaten.

Transferbahn einer Mars-Sonde

Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters, die zwar einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn erfordert (die Übergangsbahn führt über die Marsbahn hinaus), dafür dauert die Reisezeit allerdings nur sieben Monate.

Weak Stability Boundary Bearbeiten

Soll der Zielplanet mit einer möglichst geringen Geschwindigkeit angeflogen werden, bietet das sogenannte Weak-Stability-Boundary-Verfahren einen weiteren Energiegewinn. Die Sonde wird abgebremst, indem sie entlang von Librationspunkten manövriert wird. Eine erste brauchbare Bahnberechnung erfolgte 1986. Die ESA-Sonde SMART-1 näherte sich nach dieser Methode dem Mond.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: Raumfahrtsysteme: Eine Einführung mit Übungen und Lösungen. Hrsg.: Springer Vieweg. 5. Auflage. 2017, ISBN 978-3-662-49637-4, S. 123 ff.
  • Pedro Ramon Escobal: Methods of astrodynamics. John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-24528-5.
  • Palmore: An Elementary Proof of the Optimality of Hohmann Transfer. Journal of Guidance, 1984.
  • Chapter: 8.3 Hohmann Transfer. In: Ulrich Walter: Astronautics: The Physics of Space Flight, Third Edition, Springer, ISBN 978-3-319-74372-1, S. 313–325

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Walter Hohmann: Die Erreichbarkeit der Himmelskörper – Untersuchungen über das Raumfahrtproblem. Oldenbourg, München 1925
  2. Shane D. Ross: The Interplanetary Transport Network, American Scientist 94, 2006, S. 230–237, doi:10.1511/2006.3.230 online.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Hohmann Transfer ist ein energetisch gunstiger Ubergang zwischen zwei Bahnen um einen dominierenden Himmelskorper Die Transfer Ellipse Hohmann Bahn verlauft sowohl zur Ausgangsbahn als auch zur Zielbahn tangential dort ist jeweils ein Kraftstoss notig um die Geschwindigkeit anzupassen Eine solche Skizze findet sich bereits um 1911 bei Ziolkowski 1925 wurde dieser Transfer von Walter Hohmann als optimal angesehen 1 Fur koplanare kreisformige Ausgangs und Zielbahnen mit einem Radiusverhaltnis unter 11 94 ist er das auch fur extremere Verhaltnisse und stark gegeneinander geneigte oder gar gegenlaufige Bahnen ist ein bi elliptischer Transfer energetisch gunstiger Die Hohmann Bahn gelb verbindet zwei Kreisbahnen z B eine erdnahe Bahn grun r e R displaystyle r e R mit dem geostationaren Orbit rot r a R displaystyle r a R nicht massstablich Den idealisierenden Voraussetzungen nahe kommt die Aufgabe Satelliten aus einer erdnahen in eine geostationare Umlaufbahn zu bringen siehe geostationare Transferbahn Fur Fluge zum Mond oder benachbarten Planeten ist die Zentralfeld Naherung weniger gut mit Swing by Manovern und zeitraubenden Umwegen 2 lasst sich gegenuber dem analytisch gefundenen Hohmann Transfer Treibstoff sparen Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung am Beispiel des Transfers auf die geostationare Bahn 1 1 Geschwindigkeiten 1 2 Zahlen 2 Energieaufwand in Abhangigkeit vom Radiusverhaltnis 3 Beispiel 3 1 Transferbahn zum Mars 4 Weak Stability Boundary 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseBerechnung am Beispiel des Transfers auf die geostationare Bahn Bearbeiten Hauptartikel Geostationare Transferbahn Um Satelliten geostationar zu positionieren werden diese oft zunachst auf eine kreisformige niedrige Umlaufbahn gebracht Low Earth Orbit LEO siehe 1 in der Grafik Ein erster Kraftstoss D v e displaystyle Delta v e nbsp bringt den Satelliten auf die elliptische Hohmann Bahn 2 deren Apogaum im Bereich des Zielorbits 3 liegt Dort erhoht ein weiterer Kraftstoss D v a displaystyle Delta v a nbsp auch das Perigaum der Bahn die damit wieder kreisformig ist Geschwindigkeiten Bearbeiten nbsp Gesamtenergie Bilanz beim Hohmann Ubergang zwischen zwei Kreisbahnen mit dem Anfangsradius r p displaystyle r p nbsp und dem Endradius r a displaystyle r a nbsp Die schwarze Linie gibt die Energie fur Kreisbahnen mit dem jeweiligen Radius an Nach der Vis Viva Gleichung betragt die Geschwindigkeit v r eines Korpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der grossen Halbachse a um die Erde 1 v m 2 r 1 a displaystyle v sqrt mu cdot left frac 2 r frac 1 a right nbsp mit m m M g M g displaystyle mu m M cdot gamma approx M cdot gamma nbsp wobei m displaystyle m nbsp die Satellitenmasse M displaystyle M nbsp die Erdmasse und g displaystyle gamma nbsp die Gravitationskonstante sind Bezeichnen r e displaystyle r mathrm e nbsp den Perigaums bzw LEO Radius r a displaystyle r mathrm a nbsp den Apogaums bzw GEO Radius und a r e r a 2 displaystyle a frac r mathrm e r mathrm a 2 nbsp die grosse Halbachse der Transferellipse so gelten fur die Ausgangsgeschwindigkeit vLEO Perigaumsgeschwindigkeit ve Apogaumsgeschwindigkeit va sowie Endgeschwindigkeit vGEO die folgenden Gleichungen 2 v L E O m r e displaystyle v mathrm LEO sqrt frac mu r mathrm e nbsp 3 v e m 2 r e 1 a gt v L E O displaystyle v mathrm e sqrt mu cdot left frac 2 r e frac 1 a right gt v mathrm LEO nbsp 4 v a m 2 r a 1 a lt v G E O displaystyle v mathrm a sqrt mu cdot left frac 2 r a frac 1 a right lt v mathrm GEO nbsp 5 v G E O m r a displaystyle v mathrm GEO sqrt frac mu r mathrm a nbsp Zahlen Bearbeiten Folgende Werte seien gegeben r L E O r e 6 678 k m displaystyle r mathrm LEO r mathrm e 6 678 mathrm km nbsp gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Anfangsflughohe von 300 km dd r a r G E O 42 164 k m displaystyle r mathrm a r mathrm GEO 42 164 mathrm km nbsp m 398 600 k m 3 s 2 displaystyle mu 398 600 mathrm km 3 mathrm s 2 nbsp Dann betragen die gemass obigen Gleichungen berechneten Bahngeschwindigkeiten 6 v L E O 7 73 k m s displaystyle v mathrm LEO 7 73 mathrm km mathrm s nbsp 7 v e 10 15 k m s displaystyle v mathrm e 10 15 mathrm km mathrm s nbsp 8 v a 1 6 k m s displaystyle v mathrm a 1 6 mathrm km mathrm s nbsp 9 v G E O 3 07 k m s displaystyle v mathrm GEO 3 07 mathrm km mathrm s nbsp Daraus ergeben sich die beiden benotigten Geschwindigkeitsanderungen Fur den Ubergang vom LEO zur Transferellipse D v e v e v L E O 2 47 k m s displaystyle Delta v e v mathrm e v mathrm LEO 2 47 mathrm km mathrm s nbsp Fur den Ubergang von der Transferellipse zum GEO D v a v G E O v a 1 46 k m s displaystyle Delta v a v mathrm GEO v mathrm a 1 46 mathrm km mathrm s nbsp Energieaufwand in Abhangigkeit vom Radiusverhaltnis Bearbeiten nbsp Die fur den Hohmann Transfer notige Geschwindigkeits anderung in Abhangigkeit vom Geschwindigkeits verhaltnis von Ausgangs und ZielorbitDie Ellipse des Hohmann Transfers wird durch die Geschwindigkeiten der Ausgangs und Zielkreisbahn beschrieben Um von einer Ausgangskreisbahn r e displaystyle r e nbsp in die Ellipse uberzugehen sowie am Ziel wieder in eine Kreisbahn r a displaystyle r a nbsp zu gelangen sind zwei Impulsstosse bzw zwei Geschwindigkeitsanderungen D v e displaystyle Delta v e nbsp D v a displaystyle Delta v a nbsp notwendig Zur Betrachtung des benotigten Energieaufwandes kann dann auch noch die gesamte Differenz D v D v a D v e displaystyle Delta v Delta v a Delta v e nbsp betrachtet werden Die Transferellipse ist durch die Halbachse r a r e 2 mit r a gt r e gt 0 displaystyle frac r a r e 2 text mit r a gt r e gt 0 nbsp beschrieben D v e v e 2 r a r e r a 1 displaystyle Delta v e v e left sqrt frac 2r a r e r a 1 right nbsp D v a v a 1 2 r e r a r e displaystyle Delta v a v a left 1 sqrt frac 2r e r a r e right nbsp Zur weiteren Diskussion ist es zweckmassig die Grosse der Dimension Zahl D v v e D v e v e D v a v e D v e v e r e r a D v a v a displaystyle frac Delta v v e frac Delta v e v e frac Delta v a v e frac Delta v e v e frac r e r a frac Delta v a v a nbsp zu betrachten Mit der Hilfsgrosse R r a r e gt 0 displaystyle R frac r a r e gt 0 nbsp ergibt sich dann D v v e 1 1 R 2 R 1 R 1 2 1 R 1 2 1 displaystyle frac Delta v v e left 1 frac 1 R right left frac 2R 1 R right frac 1 2 left frac 1 R right frac 1 2 1 nbsp Wann sich der Hohmann Transfer als brauchbar erweist lasst sich durch genauere Diskussion der Geschwindigkeitsanderung ermitteln Durch Ableitung und Gleichsetzung mit Null kann ein Extremwert der vorgenannten Formel ermittelt werden d D v v e d R 1 R 2 2 R 1 R 1 2 R 1 R 1 R 2 2 R 1 R 1 2 1 2 R 3 2 0 displaystyle frac d Delta v v e dR frac 1 R 2 left frac 2R 1 R right frac 1 2 frac R 1 R 1 R 2 left frac 2R 1 R right frac 1 2 frac 1 2R frac 3 2 0 nbsp R 3 15 R 2 9 R 1 0 displaystyle Leftrightarrow R 3 15R 2 9R 1 0 nbsp Die einzige sinnvolle Losung ergibt sich fur R 15 582 displaystyle R 15 582 nbsp Das Verhaltnis r a r e displaystyle r a r e nbsp fur ein Maximum ist also durch den Zusammenhang r e 15 582 r a displaystyle r e cdot 15 582 r a nbsp gegeben Weiter ist die Ableitung fur jedes R gt 15 582 displaystyle R gt 15 582 nbsp streng monoton steigend D h dass sich fur jedes grossere Verhaltnis r a r e displaystyle r a r e nbsp der Energieaufwand wieder verringert Beispiel BearbeitenTransferbahn zum Mars Bearbeiten nbsp Transfer Erde Mars mit 1 Erd Umlaufbahn turkis 2 Hohmann Transfer Ellipse gelb und 3 Mars Umlaufbahn rot Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nachsten Ein Raumschiff oder eine Raumsonde kann diese geometrische Nahe aber nur unter hohem Aufwand nutzen da in diesem Fall gegen die Bahnbewegung der Erde angeflogen werden musste Nach Hohmann dagegen ist der energetisch gunstigste Transfer derjenige bei dem das Raumfahrzeug den Mars in Konjunktion zu der Position der Erde erreicht von der aus es gestartet ist In der Abbildung links umkreist das Raumfahrzeug zunachst die Erde blaue Umlaufbahn 1 wechselt dann am in der Abbildung unteren Schnittpunkt von 1 mit 2 durch einen Schubimpuls zum Transfer via der elliptischen Hohmann Bahn gelbe Transferbahn 2 bis sie am in der Abbildung oberen Schnittpunkt von 2 mit 3 den Mars erreicht um durch einen weiteren Schubimpuls nun diesen zu umkreisen rote Umlaufbahn 3 Dabei grenzt die Transferellipse in den beiden Positionen auf der Hauptachse jeweils tangential an die Umlaufbahn der Erde bzw an die vom Mars und die Sonne steht in einem ihrer Brennpunkte Daher ist die doppelte grosse Halbachse der Transferellipse die Summe der Entfernungen von der Erde zur Sonne und von der Sonne zum Mars Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von achteinhalb Monaten nbsp Transferbahn einer Mars SondeDas Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters die zwar einen hoheren Energieaufwand als die Hohmann Bahn erfordert die Ubergangsbahn fuhrt uber die Marsbahn hinaus dafur dauert die Reisezeit allerdings nur sieben Monate Weak Stability Boundary BearbeitenSoll der Zielplanet mit einer moglichst geringen Geschwindigkeit angeflogen werden bietet das sogenannte Weak Stability Boundary Verfahren einen weiteren Energiegewinn Die Sonde wird abgebremst indem sie entlang von Librationspunkten manovriert wird Eine erste brauchbare Bahnberechnung erfolgte 1986 Die ESA Sonde SMART 1 naherte sich nach dieser Methode dem Mond Siehe auch BearbeitenHillsche GleichungenLiteratur BearbeitenErnst Messerschmid Stefanos Fasoulas Raumfahrtsysteme Eine Einfuhrung mit Ubungen und Losungen Hrsg Springer Vieweg 5 Auflage 2017 ISBN 978 3 662 49637 4 S 123 ff Pedro Ramon Escobal Methods of astrodynamics John Wiley amp Sons 1969 ISBN 978 0 471 24528 5 Palmore An Elementary Proof of the Optimality of Hohmann Transfer Journal of Guidance 1984 Chapter 8 3 Hohmann Transfer In Ulrich Walter Astronautics The Physics of Space Flight Third Edition Springer ISBN 978 3 319 74372 1 S 313 325Weblinks BearbeitenAssessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries PDF 9 3 MB Herleitung der Formel fur die Bahngeschwindigkeit v eines sich in einem Kraftfeld auf elliptischer Bahn bewegenden Korpers LEIFI Interplanetary Trajectories Hohmann Transfer Orbits jpl nasa gov abgerufen am 4 November 2011Einzelnachweise Bearbeiten Walter Hohmann Die Erreichbarkeit der Himmelskorper Untersuchungen uber das Raumfahrtproblem Oldenbourg Munchen 1925 Shane D Ross The Interplanetary Transport Network American Scientist 94 2006 S 230 237 doi 10 1511 2006 3 230 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hohmann Transfer amp oldid 239500688