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Hirsch Smale Theorie Als nach den Mathematikern Morris William Hirsch und Stephen Smale wird im mathematischen Gebiet de

Hirsch-Smale-Theorie

Als Hirsch-Smale-Theorie (nach den Mathematikern Morris William Hirsch und Stephen Smale) wird im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie die Untersuchung der regulären Homotopieklassen von Immersionen bezeichnet.

Eine bekannte Anwendung ist die Umstülpung der Sphäre (engl.: sphere eversion), die in dem populären Video "Outside In" veranschaulicht wird.

Fortsetzbarkeit von Immersionen: das Hindernis Bearbeiten

Sei eine Immersion, die sich als Immersion auf eine Umgebung von in fortsetzen lässt, und sei ihr Differential.

Die Obstruktionsklasse

( bezeichnet die Stiefel-Mannigfaltigkeit und ihre Homotopiegruppe) ist definiert als die Homotopieklasse von

für und die Standardbasis von .

Wenn zu einer Immersion der Einheitskugel fortgesetzt werden kann, dann ist . Man kann also als Hindernis für die Fortsetzbarkeit der Immersion sehen.

Die Hirsch-Smale-Theorie beschäftigt sich mit der Frage, ob umgekehrt aus die Fortsetzbarkeit der Immersion folgt.

Satz von Hirsch-Smale Bearbeiten

Wenn ist, dann kann jede Immersion mit zu einer Immersion fortgesetzt werden.

Dieser Satz gilt als eines der ersten Beispiele eines h-Prinzips.

Anwendungen Bearbeiten

Satz: Für eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

Diese Äquivalenz folgt mit dem Satz von Hirsch-Smale durch Induktion über die Dimension von Untersimplizes einer Triangulierung von .

Zu den Korollaren dieses Satzes gehören die folgenden:

Kodimension Null Bearbeiten

Der Satz von Hirsch-Smale gilt nicht für .

Für sind präzise Bedingungen für die Fortsetzbarkeit von bekannt.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Theorem 3.9 in Hirsch, op. cit.
  2. Theorem 6.1 in Hirsch, op. cit.
  3. Samuel Joel Blank, Extending Immersions and regular Homotopies in Codimension 1, PhD Thesis Brandeis University, 1967.
  4. V. Poénaru, Extension des immersions en codimension 1 (d'aprés Samuel Blank), Séminaire Bourbaki, Vol. 10, Soc. Math. France (1995), Exp. No. 42, 473–505.
  5. Dennis Frisch, Classification of Immersions which are bounded by Curves in Surfaces, PhD Thesis TU Darmstadt, 2010.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Hirsch Smale Theorie nach den Mathematikern Morris William Hirsch und Stephen Smale wird im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie die Untersuchung der regularen Homotopieklassen von Immersionen bezeichnet Eine bekannte Anwendung ist die Umstulpung der Sphare engl sphere eversion die in dem popularen Video Outside In veranschaulicht wird Inhaltsverzeichnis 1 Fortsetzbarkeit von Immersionen das Hindernis 2 Satz von Hirsch Smale 3 Anwendungen 4 Kodimension Null 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseFortsetzbarkeit von Immersionen das Hindernis BearbeitenSei f S k R n displaystyle f colon S k to mathbb R n nbsp eine Immersion die sich als Immersion auf eine Umgebung U displaystyle U nbsp von S k displaystyle S k nbsp in R k 1 displaystyle mathbb R k 1 nbsp fortsetzen lasst und sei f T R k 1 S k T R n displaystyle f prime colon T mathbb R k 1 mid S k to T mathbb R n nbsp ihr Differential Die Obstruktionsklasse t f p k V n k 1 displaystyle tau f in pi k V n k 1 nbsp V n k 1 displaystyle V n k 1 nbsp bezeichnet die Stiefel Mannigfaltigkeit und p k displaystyle pi k nbsp ihre Homotopiegruppe ist definiert als die Homotopieklasse von x f e 1 x e k 1 x displaystyle x mapsto f prime e 1 x ldots e k 1 x nbsp fur x S k displaystyle x in S k nbsp und e 1 x e k 1 x displaystyle e 1 x ldots e k 1 x nbsp die Standardbasis von T x R k 1 displaystyle T x mathbb R k 1 nbsp Wenn f displaystyle f nbsp zu einer Immersion B k 1 R n displaystyle B k 1 to mathbb R n nbsp der Einheitskugel fortgesetzt werden kann dann ist t f 0 displaystyle tau f 0 nbsp Man kann t f displaystyle tau f nbsp also als Hindernis fur die Fortsetzbarkeit der Immersion sehen Die Hirsch Smale Theorie beschaftigt sich mit der Frage ob umgekehrt aus t f 0 displaystyle tau f 0 nbsp die Fortsetzbarkeit der Immersion folgt Satz von Hirsch Smale BearbeitenWenn k 1 lt n displaystyle k 1 lt n nbsp ist dann kann jede Immersion f S k R n displaystyle f colon S k to mathbb R n nbsp mit t f 0 displaystyle tau f 0 nbsp zu einer Immersion B k 1 R n displaystyle B k 1 to mathbb R n nbsp fortgesetzt werden 1 Dieser Satz gilt als eines der ersten Beispiele eines h Prinzips Anwendungen BearbeitenSatz 2 Fur eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension k lt n displaystyle k lt n nbsp sind die folgenden Bedingungen aquivalent M displaystyle M nbsp kann in den R n displaystyle mathbb R n nbsp immersiert werden Es gibt eine G L k R displaystyle GL k mathbb R nbsp aquivariante Abbildung des Rahmenbundels F k M displaystyle F k M nbsp in die Stiefel Mannigfaltigkeit V n k displaystyle V n k nbsp Diese Aquivalenz folgt mit dem Satz von Hirsch Smale durch Induktion uber die Dimension von Untersimplizes einer Triangulierung von M displaystyle M nbsp Zu den Korollaren dieses Satzes gehoren die folgenden Parallelisierbare k displaystyle k nbsp dimensionale Mannigfaltigkeiten konnen in den R k 1 displaystyle mathbb R k 1 nbsp immersiert werden Kompakte 3 Mannigfaltigkeiten konnen in den R 4 displaystyle mathbb R 4 nbsp immersiert werden Exotische 7 Spharen konnen in den R 8 displaystyle mathbb R 8 nbsp immersiert werden Kodimension Null BearbeitenDer Satz von Hirsch Smale gilt nicht fur k 1 n displaystyle k 1 n nbsp Fur k 1 n 2 displaystyle k 1 n 2 nbsp sind prazise Bedingungen fur die Fortsetzbarkeit von f displaystyle f nbsp bekannt 3 4 5 Literatur BearbeitenMorris W Hirsch Immersions of manifolds Trans Amer Math Soc 93 1959 242 276 Online abgerufen am 1 Januar 2017 Weblinks BearbeitenHirsch Smale theory Manifold Atlas J Francis The h principle The Hirsch Smale theorem M Weiss Immersion theory for homotopy theorists Outside In Geometry Center Video Productions Einzelnachweise Bearbeiten Theorem 3 9 in Hirsch op cit Theorem 6 1 in Hirsch op cit Samuel Joel Blank Extending Immersions and regular Homotopies in Codimension 1 PhD Thesis Brandeis University 1967 V Poenaru Extension des immersions en codimension 1 d apres Samuel Blank Seminaire Bourbaki Vol 10 Soc Math France 1995 Exp No 42 473 505 Dennis Frisch Classification of Immersions which are bounded by Curves in Surfaces PhD Thesis TU Darmstadt 2010 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hirsch Smale Theorie amp oldid 230206874