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Untermatrix Eine auch Teilmatrix oder Streichungsmatrix 1 ist in der Mathematik eine Matrix die durch Streichen von Zeil

Untermatrix

Eine Untermatrix, auch Teilmatrix oder Streichungsmatrix, ist in der Mathematik eine Matrix, die durch Streichen von Zeilen und Spalten aus einer gegebenen Matrix entsteht. Eine Untermatrix einer quadratischen Matrix, bei der die gleichen Zeilen und Spalten gestrichen werden, wird auch als Hauptuntermatrix bezeichnet. Untermatrizen werden unter anderem zur Definition der Minoren und der Kofaktoren einer Matrix verwendet. Sie spielen eine wichtige Rolle im laplaceschen Entwicklungssatz der Determinante einer Matrix.

Eine Untermatrix entsteht durch Streichen bestimmter Zeilen und Spalten einer Matrix, hier der zweiten Zeile und der vierten Spalte.

Definition Bearbeiten

Ist eine Matrix über dem Körper , dann ist eine Untermatrix von eine Matrix, die dadurch entsteht, dass die Zeilen der Indexmenge und die Spalten der Indexmenge aus gestrichen werden, das heißt:

Die Untermatrix besitzt dann Zeilen und Spalten. Im Fall einelementiger Indexmengen schreibt man auch kurz statt . Falls und sind, wird eine Untermatrix

auch als Hauptuntermatrix bezeichnet. Gelegentlich wird eine Untermatrix auch dadurch notiert, dass die Zeilen und Spalten, aus denen sie besteht, als Indizes angegeben werden. Man schreibt dann:

Im Folgenden wird jedoch erstere Notationsvariante verwendet. Untermatrizen, die aus aufeinanderfolgenden Zeilen- und Spaltenindizes aufgebaut sind, bilden einen Block einer Matrix.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei die reelle Matrix

dann ist die Untermatrix

diejenige Matrix, die durch Streichung der zweiten Zeile und der dritten Spalte entsteht.

Verwendung Bearbeiten

Jede Matrix mit Rang besitzt eine quadratische Untermatrix , sodass

gilt und ihre Determinante

ist. Eine solche Untermatrix kann beispielsweise mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens gefunden werden. Die Determinante einer quadratischen Untermatrix wird auch als Minor oder Unterdeterminante bezeichnet. Die Determinante einer Hauptuntermatrix heißt entsprechend Hauptminor. Die Determinanten der Untermatrizen einer quadratischen Matrix werden mit alternierenden Vorzeichen versehen Kofaktoren

der Matrix genannt. Mit Hilfe der Kofaktormatrix kann die Inverse der Matrix explizit angegeben werden. Untermatrizen spielen auch eine wichtige Rolle im laplaceschen Entwicklungssatz der Determinante einer Matrix und im Satz von Binet-Cauchy zur Bestimmung der Determinante des Produkts zweier Matrizen.

Literatur Bearbeiten

  • Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
  • Christoph W. Überhuber: Computer-Numerik 2. Springer, 1995, ISBN 3-642-57794-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Christian Karpfinger: Höhere Mathematik in Rezepten. Springer Verlag, Berlin 2014, ISBN 978-3-642-37865-2, S. 95.
  2. Christoph Überhuber: Computer-Numerik 2. S. 212.
  3. Bosch: Lineare Algebra. S. 146.

Weblinks Bearbeiten

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Eine Untermatrix auch Teilmatrix oder Streichungsmatrix 1 ist in der Mathematik eine Matrix die durch Streichen von Zeilen und Spalten aus einer gegebenen Matrix entsteht Eine Untermatrix einer quadratischen Matrix bei der die gleichen Zeilen und Spalten gestrichen werden wird auch als Hauptuntermatrix bezeichnet Untermatrizen werden unter anderem zur Definition der Minoren und der Kofaktoren einer Matrix verwendet Sie spielen eine wichtige Rolle im laplaceschen Entwicklungssatz der Determinante einer Matrix Eine Untermatrix entsteht durch Streichen bestimmter Zeilen und Spalten einer Matrix hier der zweiten Zeile und der vierten Spalte Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Verwendung 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksDefinition BearbeitenIst A a i j K m n displaystyle A a ij in K m times n nbsp eine Matrix uber dem Korper K displaystyle K nbsp dann ist eine Untermatrix A I J displaystyle A IJ nbsp von A displaystyle A nbsp eine Matrix die dadurch entsteht dass die Zeilen der Indexmenge I 1 m displaystyle I subseteq 1 ldots m nbsp und die Spalten der Indexmenge J 1 n displaystyle J subseteq 1 ldots n nbsp aus A displaystyle A nbsp gestrichen werden das heisst A I J a i j i 1 m I j 1 n J displaystyle A IJ a ij i in 1 ldots m setminus I j in 1 ldots n setminus J nbsp Die Untermatrix A I J displaystyle A IJ nbsp besitzt dann m I displaystyle m I nbsp Zeilen und n J displaystyle n J nbsp Spalten Im Fall einelementiger Indexmengen schreibt man auch kurz A i j displaystyle A ij nbsp statt A i j displaystyle A i j nbsp Falls m n displaystyle m n nbsp und I J displaystyle I J nbsp sind wird eine Untermatrix A I A I I displaystyle A I A II nbsp bzw A i A i i displaystyle A i A ii nbsp auch als Hauptuntermatrix bezeichnet Gelegentlich wird eine Untermatrix auch dadurch notiert dass die Zeilen und Spalten aus denen sie besteht als Indizes angegeben werden Man schreibt dann 2 A I J a i j i I j J displaystyle A IJ a ij i in I j in J nbsp Im Folgenden wird jedoch erstere Notationsvariante verwendet Untermatrizen die aus aufeinanderfolgenden Zeilen und Spaltenindizes aufgebaut sind bilden einen Block einer Matrix Beispiel BearbeitenGegeben sei die reelle Matrix A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R 3 4 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 amp 4 5 amp 6 amp 7 amp 8 9 amp 10 amp 11 amp 12 end pmatrix in mathbb R 3 times 4 nbsp dann ist die Untermatrix A 23 A 2 3 1 2 4 9 10 12 R 2 3 displaystyle A 23 A 2 3 begin pmatrix 1 amp 2 amp 4 9 amp 10 amp 12 end pmatrix in mathbb R 2 times 3 nbsp diejenige Matrix die durch Streichung der zweiten Zeile und der dritten Spalte entsteht Verwendung BearbeitenJede Matrix A K m n displaystyle A in K m times n nbsp mit Rang r displaystyle r nbsp besitzt eine quadratische Untermatrix A I J K r r displaystyle A IJ in K r times r nbsp sodass rang A I J rang A displaystyle operatorname rang A IJ operatorname rang A nbsp gilt und ihre Determinante det A I J 0 displaystyle operatorname det A IJ neq 0 nbsp ist 3 Eine solche Untermatrix kann beispielsweise mit Hilfe des gaussschen Eliminationsverfahrens gefunden werden Die Determinante einer quadratischen Untermatrix wird auch als Minor oder Unterdeterminante bezeichnet Die Determinante einer Hauptuntermatrix heisst entsprechend Hauptminor Die Determinanten der Untermatrizen A i j displaystyle A ij nbsp einer quadratischen Matrix A displaystyle A nbsp werden mit alternierenden Vorzeichen versehen Kofaktoren a i j 1 i j det A i j displaystyle tilde a ij 1 i j operatorname det A ij nbsp der Matrix genannt Mit Hilfe der Kofaktormatrix A a i j displaystyle tilde A tilde a ij nbsp kann die Inverse der Matrix A displaystyle A nbsp explizit angegeben werden Untermatrizen spielen auch eine wichtige Rolle im laplaceschen Entwicklungssatz der Determinante einer Matrix und im Satz von Binet Cauchy zur Bestimmung der Determinante des Produkts zweier Matrizen Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Lineare Algebra Springer 2006 ISBN 3 540 29884 3 Christoph W Uberhuber Computer Numerik 2 Springer 1995 ISBN 3 642 57794 6 Einzelnachweise Bearbeiten Christian Karpfinger Hohere Mathematik in Rezepten Springer Verlag Berlin 2014 ISBN 978 3 642 37865 2 S 95 Christoph Uberhuber Computer Numerik 2 S 212 Bosch Lineare Algebra S 146 Weblinks BearbeitenT S Pigolkina Submatrix In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Submatrix In MathWorld englisch Mathprof Submatrix notation In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Untermatrix amp oldid 200859418