Der Satz von Binet Cauchy ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet Lineare Algebra Der nach Jacques Philippe Marie Binet und Augustin Louis Cauchy benannte Satz besteht aus einer Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix C displaystyle C Um ihn anzuwenden muss eine Produktdarstellung C A B displaystyle C A cdot B bekannt sein Der Satz von Binet Cauchy verallgemeinert den Determinantenproduktsatz der sich als Spezialfall ergibt wenn A displaystyle A und B displaystyle B quadratisch sind Satz BearbeitenSind A displaystyle A nbsp eine n m displaystyle n times m nbsp Matrix und B displaystyle B nbsp eine m n displaystyle m times n nbsp Matrix dann berechnet sich die Determinante von A B displaystyle A cdot B nbsp durch Aufsummieren aller Produkte aus je einem n displaystyle n nbsp dimensionalen Minor von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp det A B S 1 2 m S n det A S det B S S 1 2 m S n det A S B S displaystyle det A cdot B sum S subseteq 1 2 ldots m atop S n det A S det B S sum S subseteq 1 2 ldots m atop S n det A S cdot B S nbsp Die Untermatrizen A S displaystyle A S nbsp und B S displaystyle B S nbsp ergeben sich aus den Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp wenn nur die Spalten aus A displaystyle A nbsp bzw Zeilen aus B displaystyle B nbsp verwendet werden deren Nummern in S displaystyle S nbsp vorkommen Dabei muss die ursprungliche Reihenfolge der Spalten bzw Zeilen jedoch erhalten bleiben Ist n gt m displaystyle n gt m nbsp dann gibt es solche Untermatrizen nicht und es gilt det A B 0 displaystyle det A cdot B 0 nbsp Gilt A B R n n displaystyle A B in mathbb R n times n nbsp dann gibt es genau eine Teilmenge S 1 2 n displaystyle S 1 2 ldots n nbsp und es gilt det A B det A det B displaystyle det A cdot B det A cdot det B nbsp Beispiel BearbeitenIn diesem Beispiel wird die Determinante der Matrix C displaystyle C nbsp mit Hilfe des Satzes von Binet Cauchy berechnet Fur diese Matrix ist die folgende Produktdarstellung gegeben C 58 64 139 154 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B displaystyle C begin pmatrix 58 amp 64 139 amp 154 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 2 amp 3 4 amp 5 amp 6 end pmatrix cdot begin pmatrix 7 amp 8 9 amp 10 11 amp 12 end pmatrix A cdot B nbsp Nach dem Satz von Binet Cauchy gilt det C S 1 2 3 S 2 det A S det B S displaystyle det C sum S subseteq 1 2 3 atop S 2 det A S det B S nbsp det A 1 2 det B 1 2 det A 2 3 det B 2 3 det A 1 3 det B 1 3 displaystyle qquad det A 1 2 cdot det B 1 2 det A 2 3 cdot det B 2 3 det A 1 3 cdot det B 1 3 nbsp det 1 2 4 5 det 7 8 9 10 det 2 3 5 6 det 9 10 11 12 det 1 3 4 6 det 7 8 11 12 displaystyle qquad det begin pmatrix 1 amp 2 4 amp 5 end pmatrix cdot det begin pmatrix 7 amp 8 9 amp 10 end pmatrix det begin pmatrix 2 amp 3 5 amp 6 end pmatrix cdot det begin pmatrix 9 amp 10 11 amp 12 end pmatrix det begin pmatrix 1 amp 3 4 amp 6 end pmatrix cdot det begin pmatrix 7 amp 8 11 amp 12 end pmatrix nbsp 3 2 3 2 6 4 displaystyle qquad 3 cdot 2 3 cdot 2 6 cdot 4 nbsp 36 displaystyle qquad 36 nbsp Literatur BearbeitenFelix R Gantmacher Matrizentheorie Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 16582 7 S 28 29 Igor R Shafarevich Alexey O Remizov Linear Algebra and Geometry Springer 2012 ISBN 978 3 642 30993 9 2 9 S 68 amp 10 5 S 377 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Binet Cauchy amp oldid 237143486
