Das Drei-Untergruppen-Lemma ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es ist eine direkte Konsequenz aus der Wittschen Identität, die auch als Hall-Witt-Identität bekannt ist, diese ist nach Ernst Witt und Philip Hall benannt.
Definitionen Bearbeiten
Es sei eine Gruppe. Bekanntlich heißt
der Kommutator von und . Induktiv definiert man dann höhere Kommutatoren durch
Sind Untergruppen, so sei die von allen Kommutatoren , erzeugte Untergruppe. Für Untergruppen erklärt man dann induktiv
Beachte, dass die Menge der Kommutatoren im Allgemeinen keine Untergruppe bildet und dass daher bei dieser induktiven Definition mehrfach zur erzeugten Untergruppe überzugehen ist.
Schließlich erinnern wir an die Definition der Konjugation. Ist , so ist ein Automorphismus auf , den man gerne als Potenz schreibt:
Wittsche Identität Bearbeiten
Es sei eine Gruppe. Dann gilt für alle die Wittsche Identität
wobei das neutrale Element der Gruppe bezeichnet.
Um sich diese Identität besser einprägen zu können, beachte man, dass der Exponent stets mit dem mittleren invertierten Element zusammenfällt, und dass der zweite und dritte Faktor aus dem ersten durch zyklische Vertauschung hervorgehen.
Diese Identität wird auch Hall-Witt-Identität genannt. Philip Hall hat diese Gleichung Ernst Witt zugeschrieben, letzterer war sich dessen allerdings nicht bewusst. Man findet diese Identität auch in folgender Form:
Beachtet man, dass die Konjugation mit ein Automorphismus ist, dessen Umkehrung die Konjugation mit ist, so zeigt die Rechnung
dass dies tatsächlich eine Variante der Wittschen Identität ist.
Beweis Bearbeiten
Der Beweis der Wittschen Identität ist nichts anderes als eine einfache Rechnung nach Ausschreiben der Definitionen:
wobei sich gleich gefärbte Formelteile gegenseitig wegheben, zuerst die schwarzen Formelteile, dann rot und grün und schließlich blau.
Bemerkung zu den Definitionen Bearbeiten
Die Definitionen von Kommutatoren und Konjugation sind in der Literatur nicht einheitlich. Definiert man alternativ für Elemente einer Gruppe :
so gilt auch mit diesen Definitionen die Wittsche Identität.
Das Drei-Untergruppen-Lemma Bearbeiten
- Sind Untergruppen einer Gruppe und ist und , so gilt auch .
Sind nämlich , , , so folgt nach Voraussetzung und daher auch nach der Wittschen Identität, denn die Konjugation ist ein Automorphismus und muss 1 auf 1 abbilden. Also vertauscht jedes mit jedem und daher mit der davon erzeugten Gruppe , und daraus folgt .
Etwas allgemeiner gilt folgende ebenfalls als Drei-Untergruppen-Lemma bezeichnete Aussage:
- Sind Untergruppen und ein Normalteiler einer Gruppe und ist und , so gilt auch .
Bertram Huppert schreibt dieses Lemma Philip Hall zu. Es ist klar, dass der Spezialfall zur ersten Form des Drei-Untergruppen-Lemmas führt.
Anwendungen Bearbeiten
Nilpotente Gruppen Bearbeiten
Man definiert für eine Gruppe induktiv
und nennt eine Gruppe nilpotent, wenn es ein gibt mit . Ein wichtiges Lemma ist
Beim Induktionsbeweis dieses Lemmas kann das Drei-Untergruppen-Lemma (in der einfacheren Form) eingesetzt werden.
Abelsche Gruppen Bearbeiten
Es seien eine Gruppe und Untergruppen. Man nennt
- Ist nun und , so ist abelsch.
Da , ist ein Normalteiler und es ist zu zeigen, das heißt . Da nach Voraussetzung , folgt aber und wegen auch , die Behauptung folgt nun aus dem Drei-Untergruppen-Lemma.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Gernot Stroth: Endliche Gruppen, Eine Einführung, Walter de Gruyter – Verlag (2013), ISBN 978-3-11-029157-5, Lemma 1.2.5
- B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel III, § 1, Satz 1.4
- Yakov Berkovich, Zvonimir Janko: Groups of Prime Power Order. Volume 1, Verlag Walter de Gruyter GmbH & Co.KG (2008), ISBN 978-3-11-020822-1, Introduction, Exercise 13
- Steven Roman: Fundamentals of Group Theory An Advanced Approach, Birkhäuser Boston (2011), ISBN 978-0-8176-8301-6, Theorem 3.43
- B. A. F. Wehrfritz: Finite Groups, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. (1999), ISBN 981-02-3874-6, Seite 11
- Charles Richard Leedham-Green, Susan McKay: The Structure of Groups of Prime Power Order, Oxford University Press (2002), ISBN 0-19-853548-1, Satz 1.1.6
- Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen, Springer-Verlag (1998), ISBN 3-540-60331-X, Abschnitt 1.5.6
- Gernot Stroth: Endliche Gruppen, Eine Einführung, Walter de Gruyter – Verlag (2013), ISBN 978-3-11-029157-5, Lemma 1.2.6
- Steven Roman: Fundamentals of Group Theory An Advanced Approach, Birkhäuser Boston (2011), ISBN 978-0-8176-8301-6, Korollar 3.44
- B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag (1967), Kapitel III, § 1, Hilfssatz 1.10 (b)
- Ernest Shult, David Surowski: Algebra A Teaching and Source Book, Springer-Verlag (2015), ISBN 978-3-319-19733-3, Korollar 5.2.2