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H Algebra Eine ist eine mathematische Struktur die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird E

H*-Algebra

Eine H*-Algebra ist eine mathematische Struktur, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Es handelt sich um eine involutive Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist, zusammen mit einer Bedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft. Dabei erhält man eine zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie.

Definition der H*-Algebra Bearbeiten

Eine involutive -Banachalgebra heißt H*-Algebra, wenn folgendes gilt:

  • Es gibt ein Skalarprodukt auf , so dass für alle
  • Für alle gilt: und .

Dabei wird die Involution auf mit * bezeichnet. Die erste Bedingung besagt gerade, dass die Banachalgebra mit ihrer Banachalgebrennorm ein Hilbertraum ist. Jedes definiert via Linksmultiplikation einen linearen Operator und via Rechtssmultiplikation einen linearen Operator . Die zweite Bedingung sagt dann, dass (bzw. ) die Hilbertraum-Adjungierte zu (bzw. ) ist, in Formeln (bzw. ), wobei der * auf der rechten Seite für die Hilbertraum-Adjunktion, das heißt für die Involution der C*-Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf dem Hilbertraum , steht. Auf diese Weise hängt die Involution der Banachalgebra mit der Hilbertraumstruktur zusammen.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Hilbert-Schmidt-Klasse über einem Hilbertraum ist eine H*-Algebra, wobei das Skalarprodukt durch gegeben ist.
  • Sei eine kompakte Gruppe und der Hilbertraum L2(G). Mit der Faltung als Multiplikation und der durch definierten Involution wird zu einer H*-Algebra.
  • Sei eine beliebige, nicht-leere Menge, und eine reelle Zahl. Für und definiere
Mit diesen Definitionen wird zu einer H*-Algebra, zur sogenannten vollen Matrixalgebra. Im Falle ist die volle Matrixalgebra isometrisch isomorph zur Hilbert-Schmidt-Klasse .
  • Ein kontinuierliches Analogon zur vollen Matrixalgebra erhält man wie folgt. Für Funktionen definiere
Mit diesen Definitionen wird der Hilbertraum zu einer H*-Algebra.
  • Der Folgenraum ist mit der komponentenweise erklärten Multiplikation und der durch die komponentenweise komplexe Konjugation definierten Involution eine kommutative H*-Algebra.

Strukturtheorie Bearbeiten

Die zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie der H*-Algebren wurde 1945 von Warren Ambrose aufgedeckt.

1. Struktursatz Bearbeiten

Eine H*-Algebra zerfällt in eine orthogonale Summe . Dabei ist das Jacobson-Radikal von , und , der Abschluss aller endlichen Summen von Produkten zweier Elemente aus , ist eine halbeinfache H*-Algebra, das heißt ihr Jacobson-Radikal ist .

Das Produkt zweier Elemente des Radikals ist 0. Daher ist nur noch die Struktur halbeinfacher H*-Algebren zu untersuchen.

2. Struktursatz Bearbeiten

Eine halbeinfache H*-Algebra zerfällt in die orthogonale Summe der minimalen, abgeschlossenen, zweiseitigen Ideale und damit in eine direkte Summe einfacher H*-Algebren.

Dabei heißt eine H*-Algebra einfach, wenn sie keine nicht-trivialen, zweiseitigen, abgeschlossenen Ideale hat. Damit ist nur noch die Struktur einfacher H*-Algebren zu untersuchen.

3. Struktursatz Bearbeiten

Eine einfache H*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer vollen Matrix-Algebra.

Damit ist die Struktur der H*-Algebren aufgedeckt: Eine H*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer orthogonalen Summe aus einem Hilbertraum mit der Nullmultiplikation und vollen Matrixalgebren. Der Hilbertraum mit der Nullmultiplikation ist das Jacobson-Radikal. Die einzelnen Summanden der direkten Summe können der Nullraum sein, sie werden dann weggelassen.

Siehe auch Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
  • Warren Ambrose: Structure Theorems for a special class of Banach-Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), Seiten 364–386
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Veröffentlichungsdatum:
Eine H Algebra ist eine mathematische Struktur die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird Es handelt sich um eine involutive Banachalgebra die gleichzeitig ein Hilbertraum ist zusammen mit einer Bedingung die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknupft Dabei erhalt man eine zum Satz von Artin Wedderburn analoge Strukturtheorie Inhaltsverzeichnis 1 Definition der H Algebra 2 Beispiele 3 Strukturtheorie 3 1 1 Struktursatz 3 2 2 Struktursatz 3 3 3 Struktursatz 4 Siehe auch 5 QuellenDefinition der H Algebra BearbeitenEine involutive C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra A displaystyle A nbsp heisst H Algebra wenn folgendes gilt Es gibt ein Skalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp auf A displaystyle A nbsp so dass x 2 x x displaystyle x 2 langle x x rangle nbsp fur alle x A displaystyle x in A nbsp Fur alle a x y A displaystyle a x y in A nbsp gilt a x y x a y displaystyle langle ax y rangle langle x a y rangle nbsp und x a y x y a displaystyle langle xa y rangle langle x ya rangle nbsp Dabei wird die Involution auf A displaystyle A nbsp mit bezeichnet Die erste Bedingung besagt gerade dass die Banachalgebra A displaystyle A nbsp mit ihrer Banachalgebrennorm ein Hilbertraum ist Jedes a A displaystyle a in A nbsp definiert via Linksmultiplikation einen linearen Operator L a A A x a x displaystyle L a A rightarrow A x mapsto ax nbsp und via Rechtssmultiplikation einen linearen Operator R a A A x x a displaystyle R a A rightarrow A x mapsto xa nbsp Die zweite Bedingung sagt dann dass L a displaystyle L a nbsp bzw R a displaystyle R a nbsp die Hilbertraum Adjungierte zu L a displaystyle L a nbsp bzw R a displaystyle R a nbsp ist in Formeln L a L a displaystyle L a L a nbsp bzw R a R a displaystyle R a R a nbsp wobei der auf der rechten Seite fur die Hilbertraum Adjunktion das heisst fur die Involution der C Algebra B A displaystyle B A nbsp der beschrankten linearen Operatoren auf dem Hilbertraum A displaystyle A nbsp steht Auf diese Weise hangt die Involution der Banachalgebra mit der Hilbertraumstruktur zusammen Beispiele BearbeitenDie Hilbert Schmidt Klasse A S H displaystyle A mathcal S H nbsp uber einem Hilbertraum H displaystyle H nbsp ist eine H Algebra wobei das Skalarprodukt durch x y Spur y x displaystyle langle x y rangle operatorname Spur y x nbsp gegeben ist Sei G displaystyle G nbsp eine kompakte Gruppe und A displaystyle A nbsp der Hilbertraum L2 G Mit der Faltung als Multiplikation und der durch f s f s 1 displaystyle f s overline f s 1 nbsp definierten Involution wird A displaystyle A nbsp zu einer H Algebra Sei J displaystyle J nbsp eine beliebige nicht leere Menge A a J 2 C i j J a i j 2 lt displaystyle A a J 2 rightarrow mathbb C sum i j in J a i j 2 lt infty nbsp und a 1 displaystyle alpha geq 1 nbsp eine reelle Zahl Fur a b A displaystyle a b in A nbsp und l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp definiere l a i j l a i j a b i j a i j b i j a b i j k J a i k b k j a i j a j i a b a i j J a i j b i j a a a 1 2 displaystyle begin array rcl lambda a i j amp amp lambda a i j a b i j amp amp a i j b i j ab i j amp amp sum k in J a i k b k j a i j amp amp overline a j i langle a b rangle amp amp alpha sum i j in J a i j overline b i j a amp amp langle a a rangle 1 2 end array nbsp dd Mit diesen Definitionen wird A displaystyle A nbsp zu einer H Algebra zur sogenannten vollen Matrixalgebra Im Falle a 1 displaystyle alpha 1 nbsp ist die volle Matrixalgebra isometrisch isomorph zur Hilbert Schmidt Klasse S ℓ 2 J displaystyle mathcal S ell 2 J nbsp Ein kontinuierliches Analogon zur vollen Matrixalgebra erhalt man wie folgt Fur Funktionen f g A L 2 0 1 0 1 displaystyle f g in A L 2 0 1 times 0 1 nbsp definiere f g s t 0 1 f s r g r t d r f s t f t s displaystyle begin array rcl fg s t amp amp int 0 1 f s r g r t mathrm d r f s t amp amp overline f t s end array nbsp dd Mit diesen Definitionen wird der Hilbertraum A displaystyle A nbsp zu einer H Algebra Der Folgenraum ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp ist mit der komponentenweise erklarten Multiplikation und der durch die komponentenweise komplexe Konjugation definierten Involution eine kommutative H Algebra Strukturtheorie BearbeitenDie zum Satz von Artin Wedderburn analoge Strukturtheorie der H Algebren wurde 1945 von Warren Ambrose aufgedeckt 1 Struktursatz Bearbeiten Eine H Algebra A displaystyle A nbsp zerfallt in eine orthogonale Summe A A 2 A 2 displaystyle A overline A 2 oplus A 2 perp nbsp Dabei ist A 2 x A x A 0 x A A x 0 displaystyle A 2 perp x in A xA 0 x in A Ax 0 nbsp das Jacobson Radikal von A displaystyle A nbsp und A 2 displaystyle overline A 2 nbsp der Abschluss aller endlichen Summen von Produkten zweier Elemente aus A displaystyle A nbsp ist eine halbeinfache H Algebra das heisst ihr Jacobson Radikal ist 0 displaystyle 0 nbsp Das Produkt zweier Elemente des Radikals ist 0 Daher ist nur noch die Struktur halbeinfacher H Algebren zu untersuchen 2 Struktursatz Bearbeiten Eine halbeinfache H Algebra zerfallt in die orthogonale Summe der minimalen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale und damit in eine direkte Summe einfacher H Algebren Dabei heisst eine H Algebra einfach wenn sie keine nicht trivialen zweiseitigen abgeschlossenen Ideale hat Damit ist nur noch die Struktur einfacher H Algebren zu untersuchen 3 Struktursatz Bearbeiten Eine einfache H Algebra ist isometrisch isomorph zu einer vollen Matrix Algebra Damit ist die Struktur der H Algebren aufgedeckt Eine H Algebra ist isometrisch isomorph zu einer orthogonalen Summe aus einem Hilbertraum mit der Nullmultiplikation und vollen Matrixalgebren Der Hilbertraum mit der Nullmultiplikation ist das Jacobson Radikal Die einzelnen Summanden der direkten Summe konnen der Nullraum sein sie werden dann weggelassen Siehe auch BearbeitenHilbertalgebraQuellen BearbeitenF F Bonsall J Duncan Complete Normed Algebras Springer Verlag 1973 ISBN 3540063862 Warren Ambrose Structure Theorems for a special class of Banach Algebras Trans Amer Math Soc 57 1945 Seiten 364 386 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title H Algebra amp oldid 183547731