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Großes Ikosaeder Das Große Ikosaeder ist ein reguläres Polyeder und einer der vier Kepler Poinsot Körper Er wird von 20

Großes Ikosaeder

Das Große Ikosaeder ist ein reguläres Polyeder und einer der vier Kepler-Poinsot-Körper. Er wird von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt, die 60 gleichschenklige Dreiecke und 120 unregelmäßige Dreiecke bilden.

Großes Ikosaeder
Pappmodell aus der Universität Tübingen (etwa 1860)

Eigenschaften Bearbeiten

Grundkörper ist der Dodekaederstern. Das Große Ikosaeder ist das Ergebnis von 20 sich gegenseitig schneidenden gleichseitigen Dreiecken, die im Dodekaederstern zu finden sind. Die Dreiecke schneiden sich unter einem Winkel von ≈ 70,5°. Jeweils zwei Dreiecke stoßen an einer ihrer Kanten zusammen und bilden hier einen „Rippenwinkel“ von ≈ 41,8°. Dieser Sternkörper ist quasi ein reduzierter Dodekaederstern, wobei die 60 Ausschnitte die Form von irregulären Tetraedern haben.

Das Große Ikosaeder ist eine Stellation und eine Facettierung des Ikosaeders (siehe Kepler-Poinsot-Körper – Stellationen und Facettierungen).

Formeln Bearbeiten

Größen eines Ikosaedersterns mit Kantenlänge a
Volumen  
Oberflächeninhalt  
Länge der Schenkel der
gleichschenkligen Dreiecke 		 
Länge der Basis der
gleichschenkligen Dreiecke 		 
Umkugelradius  
Kantenkugelradius  
Inkugelradius  
Höhe der Pyramiden  
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen 		 
Innenwinkel des
gleichseitigen Dreiecks
Winkel zwischen
benachbarten Flächen 		 
 

Zusammenhang mit anderen Polyedern Bearbeiten

Durch Abstumpfen eines Ikosaedersterns entsteht der abgestumpfte Ikosaederstern, der von außen wie ein Ikosaeder aussieht, das Große Ikosidodekaeder und schließlich das Große Ikosaeder.

Die konvexe Hülle ist das Ikosaeder. Es hat auch gemeinsame Kanten mit dem Dodekaederstern. Es gibt vier verwandte Polyeder, die durch Abstumpfen entstehen.

Das duale Polyeder ist der Ikosaederstern. Das Große Ikosidodekaeder ist eine Rektifikation, wobei Kanten bis zu Punkten abgestumpft werden. Der abgestumpfte Ikosaederstern kann als ein degeneriertes reguläres Polyeder angesehen werden, weil seine Ecken und Kanten übereinstimmen, aber es ist für die Vollständigkeit enthalten. Die Oberfläche sieht aus wie ein normales Ikosaeder, aber es hat 40 Seitenflächen, die paarweise übereinstimmen. Die Spitzen werden abgeschnitten, bis sie die Ebene des Pentagramms unter ihnen erreichen. Die 40 Seitenflächen sind 20 gleichseitige Dreiecke von den abgestumpften Ecken und 20 Dreiecke, die die ersten 20 Dreiecke überlappen. Diese werden gebildet, indem die ursprünglichen Pentagramme abgestumpft werden.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Das Grosse Ikosaeder ist ein regulares Polyeder und einer der vier Kepler Poinsot Korper Er wird von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt die 60 gleichschenklige Dreiecke und 120 unregelmassige Dreiecke bilden Grosses IkosaederPappmodell aus der Universitat Tubingen etwa 1860 Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Formeln 3 Zusammenhang mit anderen Polyedern 4 WeblinksEigenschaften BearbeitenGrundkorper ist der Dodekaederstern Das Grosse Ikosaeder ist das Ergebnis von 20 sich gegenseitig schneidenden gleichseitigen Dreiecken die im Dodekaederstern zu finden sind Die Dreiecke schneiden sich unter einem Winkel von 70 5 Jeweils zwei Dreiecke stossen an einer ihrer Kanten zusammen und bilden hier einen Rippenwinkel von 41 8 Dieser Sternkorper ist quasi ein reduzierter Dodekaederstern wobei die 60 Ausschnitte die Form von irregularen Tetraedern haben Das Grosse Ikosaeder ist eine Stellation und eine Facettierung des Ikosaeders siehe Kepler Poinsot Korper Stellationen und Facettierungen Formeln BearbeitenGrossen eines Ikosaedersterns mit Kantenlange aVolumen V a 3 4 83 5 185 displaystyle V frac a 3 4 cdot 83 cdot sqrt 5 185 nbsp 0 148 a 3 displaystyle approx 0 148 cdot a 3 nbsp Oberflacheninhalt A O 3 a 2 3 16 5 35 displaystyle A O 3 cdot a 2 cdot sqrt 3 cdot 16 cdot sqrt 5 35 nbsp 4 038 a 2 displaystyle approx 4 038 cdot a 2 nbsp Lange der Schenkel dergleichschenkligen Dreiecke s a 5 2 displaystyle s a cdot sqrt 5 2 nbsp 0 236 a displaystyle approx 0 236 cdot a nbsp Lange der Basis dergleichschenkligen Dreiecke b a 10 7 10 15 2 displaystyle b frac a 10 cdot 7 cdot sqrt 10 15 cdot sqrt 2 nbsp 0 092 a displaystyle approx 0 092 cdot a nbsp Umkugelradius r u a 4 10 2 5 displaystyle r u frac a 4 cdot sqrt 10 2 cdot sqrt 5 nbsp 0 588 a displaystyle approx 0 588 cdot a nbsp Kantenkugelradius r k a 4 5 1 displaystyle r k frac a 4 cdot sqrt 5 1 nbsp 0 309 a displaystyle approx 0 309 cdot a nbsp Inkugelradius r i a 20 50 10 5 displaystyle r i frac a 20 cdot sqrt 50 10 cdot sqrt 5 nbsp 0 262 a displaystyle approx 0 262 cdot a nbsp Hohe der Pyramiden k a 20 50 22 5 displaystyle k frac a 20 cdot sqrt 50 22 cdot sqrt 5 nbsp 0 045 a displaystyle approx 0 045 cdot a nbsp Verhaltnis von Volumenzu Umkugelvolumen V V U K 3 10 p 36250 16210 5 displaystyle frac V V U K frac 3 10 cdot pi cdot sqrt 36250 16210 cdot sqrt 5 nbsp 0 174 displaystyle approx 0 174 nbsp Innenwinkel desgleichseitigen Dreiecks a 60 displaystyle alpha 60 circ nbsp Winkel zwischenbenachbarten Flachen b 1 arccos 1 3 displaystyle beta 1 arccos frac 1 3 nbsp 70 31 44 displaystyle approx 70 circ 31 prime 44 prime prime nbsp b 2 arccos 5 3 displaystyle beta 2 arccos frac sqrt 5 3 nbsp 41 48 37 displaystyle approx 41 circ 48 prime 37 prime prime nbsp Zusammenhang mit anderen Polyedern Bearbeiten nbsp Durch Abstumpfen eines Ikosaedersterns entsteht der abgestumpfte Ikosaederstern der von aussen wie ein Ikosaeder aussieht das Grosse Ikosidodekaeder und schliesslich das Grosse Ikosaeder Die konvexe Hulle ist das Ikosaeder Es hat auch gemeinsame Kanten mit dem Dodekaederstern Es gibt vier verwandte Polyeder die durch Abstumpfen entstehen Das duale Polyeder ist der Ikosaederstern Das Grosse Ikosidodekaeder ist eine Rektifikation wobei Kanten bis zu Punkten abgestumpft werden Der abgestumpfte Ikosaederstern kann als ein degeneriertes regulares Polyeder angesehen werden weil seine Ecken und Kanten ubereinstimmen aber es ist fur die Vollstandigkeit enthalten Die Oberflache sieht aus wie ein normales Ikosaeder aber es hat 40 Seitenflachen die paarweise ubereinstimmen Die Spitzen werden abgeschnitten bis sie die Ebene des Pentagramms unter ihnen erreichen Die 40 Seitenflachen sind 20 gleichseitige Dreiecke von den abgestumpften Ecken und 20 Dreiecke die die ersten 20 Dreiecke uberlappen Diese werden gebildet indem die ursprunglichen Pentagramme abgestumpft werden Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Grosses Ikosaeder In MathWorld englisch Kepler Poinsot Korper Dodekaederstern Ikosaederstern Grosses Dodekaeder Grosses Ikosaeder Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grosses Ikosaeder amp oldid 232204622