Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums Hauptraume spielen eine grosse Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehorigen Basis Inhaltsverzeichnis 1 Definition des Hauptraums 2 Hauptvektor 3 Satz uber die Hauptraumzerlegung 4 Beispiel 5 LiteraturDefinition des Hauptraums BearbeitenIst F V V displaystyle F colon V to V nbsp eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp in sich selbst l displaystyle lambda nbsp ein Eigenwert von F displaystyle F nbsp und bezeichnet r displaystyle r nbsp die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes l displaystyle lambda nbsp dann nennt man den Kern der r displaystyle r nbsp fachen Hintereinanderausfuhrung von F l i d displaystyle F lambda mathrm id nbsp Hauptraum zum Eigenwert l displaystyle lambda nbsp d h Hau F l v V F l i d r v 0 fur ein r N displaystyle operatorname Hau F lambda v in V mid F lambda mathrm id r v 0 text fur ein r in mathbb N nbsp Dabei steht i d displaystyle mathrm id nbsp fur die identische Abbildung auf V displaystyle V nbsp Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren v displaystyle v nbsp aufgespannt fur die F l i d r v 0 displaystyle F lambda mathrm id r v 0 nbsp gilt Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Untervektorraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert Hauptvektor BearbeitenDie Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen Sei F displaystyle F nbsp ein Endomorphismus und l displaystyle lambda nbsp ein Eigenwert des Endomorphismus Ein Vektor v displaystyle v nbsp heisst Hauptvektor der Stufe p displaystyle p nbsp wenn F l i d p v 0 displaystyle F lambda mathrm id p v 0 nbsp aber F l i d p 1 v 0 displaystyle F lambda mathrm id p 1 v neq 0 nbsp gilt Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1 Satz uber die Hauptraumzerlegung BearbeitenEs sei F displaystyle F nbsp ein Endomorphismus und sein charakteristisches Polynom x F t j 1 k t l j r j displaystyle chi F t pm prod j 1 k t lambda j r j nbsp zerfalle vollstandig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen l 1 l k K displaystyle lambda 1 ldots lambda k in K nbsp Dann gilt Der Hauptraum ist F displaystyle F nbsp invariant das heisst F Hau F l i Hau F l i displaystyle F left operatorname Hau F lambda i right subset operatorname Hau F lambda i nbsp Die Dimensionen der Hauptraume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms uberein also dim Hau F l i r i displaystyle dim left operatorname Hau F lambda i right r i nbsp Die Hauptraume bilden eine direkte Zerlegung innere direkte Summe von V displaystyle V nbsp Es gilt also V Hau F l 1 Hau F l k displaystyle V operatorname Hau F lambda 1 oplus cdots oplus operatorname Hau F lambda k nbsp Der Endomorphismus F displaystyle F nbsp besitzt eine Zerlegung F F D F N displaystyle F F D F N nbsp Darin ist F D displaystyle F D nbsp diagonalisierbar F N displaystyle F N nbsp ist nilpotent und es gilt F D F N F N F D displaystyle F D circ F N F N circ F D nbsp Beispiel BearbeitenSei eine Matrix A R 6 6 displaystyle A in mathbb R 6 times 6 nbsp gegeben deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfallt det A l I l 2 3 l 4 3 displaystyle det left A lambda I right lambda 2 3 lambda 4 3 nbsp Ausserdem soll gelten dim Ker A 2 I 2 dim Ker A 2 I 2 3 dim Ker A 2 I 3 3 dim Ker A 4 I 1 dim Ker A 4 I 2 2 dim Ker A 4 I 3 3 displaystyle begin aligned dim operatorname Ker left A 2I right amp 2 quad dim operatorname Ker left A 2I right 2 3 quad dim operatorname Ker left A 2I right 3 3 dim operatorname Ker left A 4I right amp 1 quad dim operatorname Ker left A 4I right 2 2 quad dim operatorname Ker left A 4I right 3 3 end aligned nbsp Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 betragt 3 und die des Eigenwerts 4 betragt 3 Die Eigenraume haben die Dimension 2 bzw 1 also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist Es lasst sich aber die Jordansche Normalform J displaystyle J nbsp konstruieren J 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 4 displaystyle J begin bmatrix 2 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 2 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 2 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 4 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4 amp 1 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4 end bmatrix nbsp uber eine Ahnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix P displaystyle P nbsp P 1 A P J A P P J displaystyle P 1 AP J quad Longleftrightarrow quad AP PJ nbsp wobei die Spaltenvektoren von P displaystyle P nbsp den Hauptvektoren p i displaystyle p i nbsp entsprechen P p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 displaystyle P begin bmatrix p 1 amp p 2 amp p 3 amp p 4 amp p 5 amp p 6 end bmatrix nbsp Die Transformation A P P J displaystyle AP PJ nbsp lautet mit Hilfe der Hauptvektoren A p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 J 2 p 1 2 p 2 2 p 3 p 2 4 p 4 4 p 5 p 4 4 p 6 p 5 displaystyle A begin bmatrix p 1 amp p 2 amp p 3 amp p 4 amp p 5 amp p 6 end bmatrix begin bmatrix p 1 amp p 2 amp p 3 amp p 4 amp p 5 amp p 6 end bmatrix J begin bmatrix 2p 1 amp 2p 2 amp 2p 3 p 2 amp 4p 4 amp 4p 5 p 4 amp 4p 6 p 5 end bmatrix nbsp Somit folgt A 2 I p 1 0 A 2 I p 2 0 A 2 I p 3 p 2 A 2 I 2 p 3 A 2 I p 2 0 A 4 I p 4 0 A 4 I p 5 p 4 A 4 I 2 p 5 A 4 I p 4 0 A 4 I p 6 p 5 A 4 I 3 p 6 A 4 I 2 p 5 A 4 I p 4 0 displaystyle begin aligned left A 2I right p 1 amp 0 left A 2I right p 2 amp 0 left A 2I right p 3 amp p 2 quad Rightarrow quad left A 2I right 2 p 3 left A 2I right p 2 0 left A 4I right p 4 amp 0 left A 4I right p 5 amp p 4 quad Rightarrow quad left A 4I right 2 p 5 left A 4I right p 4 0 left A 4I right p 6 amp p 5 quad Rightarrow quad left A 4I right 3 p 6 left A 4I right 2 p 5 left A 4I right p 4 0 end aligned nbsp p 1 displaystyle p 1 nbsp p 2 displaystyle p 2 nbsp und p 4 displaystyle p 4 nbsp sind Hauptvektoren erster Stufe also Eigenvektoren p 3 displaystyle p 3 nbsp und p 5 displaystyle p 5 nbsp Hauptvektoren zweiter Stufe und p 6 displaystyle p 6 nbsp ist ein Hauptvektor dritter Stufe Damit werden die Kerne der Abbildungen A l E displaystyle A lambda E nbsp wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt Ker A 2 I p 1 p 2 Ker A 2 I n p 1 p 2 p 3 mit n 2 Ker A 4 I p 4 Ker A 4 I 2 p 4 p 5 Ker A 4 I n p 4 p 5 p 6 mit n 3 displaystyle begin aligned operatorname Ker left A 2I right amp left langle p 1 p 2 right rangle quad operatorname Ker left A 2I right n left langle p 1 p 2 p 3 right rangle text mit n geq 2 operatorname Ker left A 4I right amp left langle p 4 right rangle quad operatorname Ker left A 4I right 2 left langle p 4 p 5 right rangle quad operatorname Ker left A 4I right n left langle p 4 p 5 p 6 right rangle text mit n geq 3 end aligned nbsp Die Hauptraume und Eigenraume zu den beiden Eigenwerten lauten damit wobei die Eigenraume Unterraume der jeweiligen Hauptraume sind Hau A 2 Ker A 2 I 2 p 1 p 2 p 3 E A 2 Ker A 2 I p 1 p 2 Hau A 4 Ker A 4 I 3 p 4 p 5 p 6 E A 4 Ker A 4 I p 4 displaystyle begin aligned operatorname Hau A 2 operatorname Ker A 2I 2 left langle p 1 p 2 p 3 right rangle amp supset operatorname E A 2 operatorname Ker A 2I left langle p 1 p 2 right rangle operatorname Hau A 4 operatorname Ker A 4I 3 left langle p 4 p 5 p 6 right rangle amp supset operatorname E A 4 operatorname Ker A 4I left langle p 4 right rangle end aligned nbsp Die Dimensionen der Hauptraume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms uberein also dim Hau A 2 3 displaystyle dim left operatorname Hau A 2 right 3 nbsp und dim Hau A 4 3 displaystyle dim left operatorname Hau A 4 right 3 nbsp Die Hauptraume bilden eine direkte Zerlegung von V R 6 displaystyle V mathbb R 6 nbsp d h V Hau A 2 Hau A 4 displaystyle V operatorname Hau A 2 oplus operatorname Hau A 4 nbsp Die Matrix A displaystyle A nbsp besitzt eine Zerlegung A A D A N displaystyle A A D A N nbsp wobei A D displaystyle A D nbsp diagonalisierbar und A N displaystyle A N nbsp nilpotent ist P 1 A D A N P J D J N displaystyle P 1 A D A N P J D J N nbsp mit J D 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 J N 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 displaystyle J D begin bmatrix 2 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 2 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 2 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 4 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 4 end bmatrix quad J N begin bmatrix 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 end bmatrix nbsp Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Vieweg Verlag ISBN 3 528 97217 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hauptraum amp oldid 201216097
