Als gekoppelte Pendel werden Pendel bezeichnet zwischen denen ein Energieaustausch beispielsweise durch eine Schraubenfeder stattfinden kann so dass sie als Gekoppelte harmonische Oszillatoren wirken Die ausgefuhrten Schwingungen werden auch Koppelschwingungen genannt In jedem Pendel wirkt ein Richtmoment das durch die Schwerkraft hervorgerufen wird und bestrebt ist das Pendel in die Ruhelage zuruckzuziehen Ausserdem macht sich die vorhandene Kopplung in Form eines zusatzlichen Richtmoments bemerkbar das so wirkt dass die Feder moglichst entspannt wird Beispiel fur ein gekoppeltes PendelMehrere gleiche Pendel die in einer Reihe angeordnet mit ihren unmittelbaren Nachbarn wechselwirken bezeichnet man als Schwingerkette Inhaltsverzeichnis 1 Historische Beobachtungen 2 Physikalisch mathematische Betrachtung 3 Beispiel gekoppeltes Pendel als Eigenwertproblem Normalschwingungsanalyse 3 1 FallunterscheidungenHistorische Beobachtungen BearbeitenDer niederlandische Astronom und Physiker Christiaan Huygens beobachtete bereits im 17 Jahrhundert gekoppelte Pendelschwingungen als er feststellte dass zwei baugleiche Pendeluhren die an Bord eines Schiffes in einem gemeinsamen Gehause eingebaut waren nach einer halben Stunde synchron schwangen egal in welcher Ausgangsposition sich die Pendel zu Beginn befanden Die Pendelgewichte ubertrugen Energie an das Uhrengehause und beeinflussten sich dabei gegenseitig siehe Lock in Effekt Physikalisch mathematische Betrachtung Bearbeiten nbsp gekoppelte Pendel in Ruhelage durch Moment der FederBetrachten wir als Modell den Fall zweier gleicher Pendel die durch eine Feder miteinander verbunden sind Dann werden aufgrund des Drehmomentes verursacht durch die Schwerkraft und des entgegengesetzt wirkenden Momentes der Feder die beiden Pendel in eine neue Gleichgewichtslage ausgelenkt Lenkt man nun Pendel 2 um den Winkel 8 2 displaystyle theta 2 nbsp nach rechts aus erhalt man unter der Annahme dass die Lange der Feder im entspannten Zustand gleich dem Abstand der Aufhangepunkte ist fur kleine Auslenkungen naherungsweise ein Gesamtmoment von M 2 m g L 8 2 k l 2 8 2 displaystyle M 2 mgL theta 2 k l 2 theta 2 nbsp wobei k displaystyle k nbsp die Federkonstante der Kopplungsfeder ist Lenkt man zusatzlich Pendel 1 um einen kleinen Winkel 8 1 displaystyle theta 1 nbsp nach rechts aus ergibt sich naherungsweise ein Gesamtmoment von M 2 m g L 8 2 k l 2 8 2 k l 2 8 1 J 8 2 displaystyle M 2 mgL theta 2 k l 2 theta 2 k l 2 theta 1 J ddot theta 2 nbsp Analog kann man fur Pendel 1 verfahren und erhalt die beiden Differentialgleichungen J 8 1 m g L 8 1 k l 2 8 2 8 1 displaystyle J ddot theta 1 mgL theta 1 k l 2 theta 2 theta 1 nbsp J 8 2 m g L 8 2 k l 2 8 2 8 1 displaystyle J ddot theta 2 mgL theta 2 k l 2 theta 2 theta 1 nbsp J displaystyle J nbsp ist dabei das Tragheitsmoment eines Pendels Falls es sich um ein Fadenpendel handelt gilt J m L 2 displaystyle J mL 2 nbsp Man erhalt drei charakteristische Schwingungsformen des Pendelsystems Beispiel gekoppeltes Pendel als Eigenwertproblem Normalschwingungsanalyse BearbeitenDie Bewegungsgleichungen des gekoppelten Pendels lassen sich mit dem Lagrange Formalismus berechnen Hierzu wird die Lagrange Funktion des Systems aufgestellt L T U displaystyle mathcal L T U nbsp wobei T displaystyle T nbsp die kinetische Energie des Systems gegeben ist durch T 1 2 m 1 L 2 8 1 2 1 2 m 2 L 2 8 2 2 displaystyle T frac 1 2 m 1 L 2 dot theta 1 2 frac 1 2 m 2 L 2 dot theta 2 2 nbsp und U displaystyle U nbsp die potentielle Energie des Systems gegeben ist durch U m 1 g L cos 8 1 m 2 g L cos 8 2 1 2 k l 2 sin 8 1 sin 8 2 2 displaystyle U m 1 gL cos theta 1 m 2 gL cos theta 2 frac 1 2 kl 2 left sin theta 1 sin theta 2 right 2 nbsp woraus folgt L 1 2 m 1 L 2 8 1 2 1 2 m 2 L 2 8 2 2 m 1 g L cos 8 1 m 2 g L cos 8 2 1 2 k l 2 sin 8 1 sin 8 2 2 displaystyle mathcal L frac 1 2 m 1 L 2 dot theta 1 2 frac 1 2 m 2 L 2 dot theta 2 2 m 1 gL cos theta 1 m 2 gL cos theta 2 frac 1 2 kl 2 left sin theta 1 sin theta 2 right 2 nbsp Fur kleine Auslenkungen kann die Kleinwinkelnaherung angewendet werden Werden nur Terme bis zur 2 Ordnung berucksichtigt gilt sin 8 i 8 i displaystyle sin theta i approx theta i nbsp sowie cos 8 i 1 8 i 2 2 displaystyle cos theta i approx 1 tfrac theta i 2 2 nbsp Mit der Euler Lagrange Gleichung d d t L 8 i L 8 i 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d t frac partial mathcal L partial dot theta i frac partial mathcal L partial theta i 0 nbsp erhalt man zwei gekoppelte Bewegungsgleichungen der Form 8 1 g L 8 1 k l 2 m 1 L 2 8 1 8 2 0 displaystyle ddot theta 1 frac g L theta 1 frac kl 2 m 1 L 2 theta 1 theta 2 0 nbsp 8 2 g L 8 2 k l 2 m 2 L 2 8 1 8 2 0 displaystyle ddot theta 2 frac g L theta 2 frac kl 2 m 2 L 2 theta 1 theta 2 0 nbsp Mit dem Ansatz dass jede Fundamentalschwingung der hier beschriebenen Normalschwingung die Form 8 i t a i cos w t b i displaystyle theta i t a i cos omega t beta i nbsp hat erhalt man die Matrixdarstellung g L k l 2 m 1 L 2 w 2 k l 2 m 1 L 2 k l 2 m 2 L 2 g L k l 2 m 2 L 2 w 2 B a 1 a 2 0 0 displaystyle underbrace begin pmatrix frac g L frac kl 2 m 1 L 2 omega 2 amp frac kl 2 m 1 L 2 frac kl 2 m 2 L 2 amp frac g L frac kl 2 m 2 L 2 omega 2 end pmatrix B begin pmatrix a 1 a 2 end pmatrix begin pmatrix 0 0 end pmatrix nbsp Mit dem Ansatz det B 0 displaystyle det B 0 nbsp ermittelt man die Eigenwerte Quadrate der Eigenkreisfrequenzen also w 2 displaystyle omega 2 nbsp Der Sinn hinter dem Ansatz ist dass mit det B 0 displaystyle det B neq 0 nbsp die Matrix vollen Rang hat also ihre Spaltenvektoren linear unabhangig sind In diesem Falle gabe es fur B x 0 displaystyle B vec x vec 0 nbsp nur die triviale Losung x 0 displaystyle vec x vec 0 nbsp und damit keine Schwingung sondern die Pendel wurden einfach auf der Stelle verharren Fur den Spezialfall m 1 m 2 m displaystyle m 1 m 2 m nbsp erhalt man die Eigenwerte w 1 2 g L k l 2 m L 2 k l 2 m L 2 g L displaystyle omega 1 2 frac g L frac kl 2 mL 2 frac kl 2 mL 2 frac g L nbsp w 2 2 g L k l 2 m L 2 k l 2 m L 2 g L 2 k l 2 m L 2 displaystyle omega 2 2 frac g L frac kl 2 mL 2 frac kl 2 mL 2 frac g L 2 frac kl 2 mL 2 nbsp Zu den Eigenwerten sind nun noch die Eigenvektoren zu bestimmen Fur dieses Beispiel 1 1 displaystyle begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp und 1 1 displaystyle begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp Somit ergibt sich die Losung der Normalschwingungsanalyse Eigenwertproblem fur den Spezialfall zu 8 t A 1 1 1 cos w 1 t b 1 A 2 1 1 cos w 2 t b 2 displaystyle vec theta t A 1 begin pmatrix 1 1 end pmatrix cos omega 1 t beta 1 A 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix cos omega 2 t beta 2 nbsp Fallunterscheidungen Bearbeiten Die Variablen A 1 displaystyle A 1 nbsp und A 2 displaystyle A 2 nbsp kann man mit der nachstehenden Grafik diskutieren Bild 1 zeigt den Fall dass A 2 0 displaystyle A 2 0 nbsp Bild 2 zeigt den Fall dass A 1 0 displaystyle A 1 0 nbsp und Bild 3 zeigt den Fall dass A 1 A 2 0 displaystyle A 1 A 2 neq 0 nbsp nbsp Abwechselnde Schwingung Wenn zwei gleichartige Pendel an der gleichen Schnur aufgehangt sind und nur eines ausgelenkt wird wird die Energie der Schwingung periodisch von einem Pendel zum anderen ubertragen Gleichsinnige Schwingung Die beiden Pendel schwingen mit gleicher Amplitude und gleicher Phase mit ihrer normalen Eigenfrequenz nbsp Gegensinnige Schwingung Die beiden Pendel schwingen mit gleich grosser Amplitude aber in Gegenphase und mit hoherer Frequenz nbsp Schwebungsfall Wird zu Beginn nur eines der beiden Pendel aus seiner Ausgangslage ausgelenkt so wandert die Schwingungsenergie langsam zwischen den beiden Pendeln hin und her Die Schwingung besteht aus einer Uberlagerung der Eigenfrequenz und der hoheren Frequenz also aus den beiden gegensinnigen und gleichsinnigen Schwingungsmoden oben nbsp Beim Wilberforcependel kann eine an einer Schraubenfeder aufgehangte Masse sowohl eine vertikale Translations als auch eine Rotationsbewegung ausfuhren welche uber die Schraubenfeder miteinander in Wechselwirkung stehen Bei einer bestimmten Masse des schwingenden Elements wechseln beide Bewegungen einander ab Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gekoppelte Pendel amp oldid 229156691
