www.wikidata.de-de.nina.az

G sub δ sub und F sub σ sub Mengen Als Gδ Mengen und Fσ Mengen bezeichnet man in der Mathematik spezielle Mengen in topo

Gδ- und Fσ-Mengen

Als Gδ-Mengen und Fσ-Mengen bezeichnet man in der Mathematik spezielle Mengen in topologischen Räumen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Maßtheorie und treten auch bei der Formulierung von Permanenzeigenschaften gewisser Klassen von topologischen Räumen auf.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein topologischer Raum .

Eine Menge heißt eine Gδ-Menge, wenn sie der abzählbare Durchschnitt von offenen Mengen in ist. Das heißt, es existieren Mengen für alle , so dass

gilt.

Eine Menge heißt eine Fσ-Menge, wenn sie die abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen in ist. Äquivalent dazu ist, dass das Komplement der Menge eine Gδ-Menge ist.

Benennung Bearbeiten

Die Benennung erklärt sich wie folgt:

  • F steht für fermé, französisch für abgeschlossen, das σ für somme, französisch für Summe und daraus abgeleitet die Vereinigung, ähnlich der σ-Additivität oder der σ-Endlichkeit.
  • G steht für Gebiet, da Felix Hausdorff offene Mengen Gebiete nannte, das δ für Durchschnitt.

Verwendung Bearbeiten

Namensgebend sind die Gδ-Mengen beispielsweise bei dem Gδ-Satz von Hausdorff, ebenso spielen sie eine zentrale Rolle bei dem eng verwandten Satz von Mazurkiewicz.

Außerdem sind sowohl Gδ-Mengen als auch Fσ-Mengen stets Borel-Mengen und befinden sich in der zweiten Stufe der Borel-Hierarchie.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eric W. Weisstein: F-Sigma Set. In: MathWorld (englisch).
  2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 26.
  3. Eric W. Weisstein: G-Delta Set. In: MathWorld (englisch).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Als Gd Mengen und Fs Mengen bezeichnet man in der Mathematik spezielle Mengen in topologischen Raumen Sie spielen eine wichtige Rolle in der Masstheorie und treten auch bei der Formulierung von Permanenzeigenschaften gewisser Klassen von topologischen Raumen auf Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Benennung 3 Verwendung 4 Weblinks 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein topologischer Raum X O displaystyle X mathcal O nbsp Eine Menge G X displaystyle G subset X nbsp heisst eine Gd Menge wenn sie der abzahlbare Durchschnitt von offenen Mengen in X displaystyle X nbsp ist Das heisst es existieren Mengen O n O displaystyle O n in mathcal O nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp so dass G n N O n displaystyle G bigcap n in mathbb N O n nbsp gilt Eine Menge F X displaystyle F subset X nbsp heisst eine Fs Menge wenn sie die abzahlbare Vereinigung abgeschlossener Mengen in X displaystyle X nbsp ist Aquivalent dazu ist dass das Komplement der Menge eine Gd Menge ist Benennung BearbeitenDie Benennung erklart sich wie folgt F steht fur ferme franzosisch fur abgeschlossen das s fur somme franzosisch fur Summe und daraus abgeleitet die Vereinigung ahnlich der s Additivitat oder der s Endlichkeit 1 G steht fur Gebiet da Felix Hausdorff offene Mengen Gebiete nannte 2 das d fur Durchschnitt 3 Verwendung BearbeitenNamensgebend sind die Gd Mengen beispielsweise bei dem Gd Satz von Hausdorff ebenso spielen sie eine zentrale Rolle bei dem eng verwandten Satz von Mazurkiewicz Ausserdem sind sowohl Gd Mengen als auch Fs Mengen stets Borel Mengen und befinden sich in der zweiten Stufe der Borel Hierarchie Weblinks BearbeitenG delta In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org F sigma In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenBoto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2001 ISBN 978 3 540 67790 1 doi 10 1007 978 3 642 56860 2 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein F Sigma Set In MathWorld englisch Elstrodt Mass und Integrationstheorie 2009 S 26 Eric W Weisstein G Delta Set In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gd und Fs Mengen amp oldid 202503912