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G sub δ sub Satz von Hausdorff Der G δ displaystyle G delta Satz von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilg

Gδ-Satz von Hausdorff

Der -Satz von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er wurde 1924 von Felix Hausdorff in den Fundamenta Mathematicae veröffentlicht. Der -Satz wird von manchen Autoren auch dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff zugeschrieben, welcher den Satz für den separablen Fall, das heißt für den Spezialfall polnischer Räume, bewiesen hatte.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Umkehrung Bearbeiten

Der -Satz hat eine gewisse Umkehrung in dem von Stefan Mazurkiewicz bewiesenen Satz von Mazurkiewicz:

Folgerung Bearbeiten

Aus dem -Satz folgt unmittelbar, dass die Menge der irrationalen Zahlen

mit der von herrührenden Unterraumtopologie vollständig metrisierbar ist. Konstruktiv lässt sich dies mittels der Angabe eines Homöomorphismus zum Baire-Raum zeigen.

Literatur Bearbeiten

Originalarbeiten Bearbeiten

  • Paul Alexandroff: Sur les ensembles de la première classe et les ensembles abstraits. In: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Band 178. Jahrgang, 1924, S. 185–187. Digitalisat.
  • Felix Hausdorff: Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6. Jahrgang, 1924, S. 146–148. Digitalisat (PDF; 129 kB).
  • Stefan Mazurkiewicz: Über Borelsche Mengen. In: Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Série A: Sciences Mathématiques. 1916, ZDB-ID 761846-3, S. 490–494.

Bücher Bearbeiten

  • Felix Hausdorff: Gesammelte Werke. Einschließlich der unter dem Pseudonym Paul Mongré erschienenen philosophischen und literarischen Schriften und ausgewählter Texte aus dem Nachlaß. Band 3: Mengenlehre (1927, 1935), deskriptive Mengenlehre und Topologie. Herausgegeben von Ulrich Feigner, Horst Herrlich, Mirek Hušek, Vladimir Kanovei, Peter Koepke, Gerhard Preuß, Walter Purkert und Erhard Scholz. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76806-7.
  • Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Vladimir Kanovei, Walter Purkert: Mengenlehre – Historische Einführung. In: Hausdorff: Gesammelte Werke. Band 3. 2008, S. 1–40, hier S. 17; Hausdorff: Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. In: Hausdorff: Gesammelte Werke. Band 3. 2008, S. 443–453, hier S. 445–447.
  2. Hausdorff: Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. 1924, S. 146–148.
  3. Etwa Willard: General Topology. 1970, S. 179, 310.
  4. Hausdorff: Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. 1924, S. 146–148, hier S. 146.
  5. Mazurkiewicz: Über Borelsche Mengen. 1916, S. 490–494.
  6. Willard: General Topology. 1970, S. 179, 310–311.
  7. Willard: General Topology. 1970, S. 182.
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Veröffentlichungsdatum:
Der G d displaystyle G delta Satz von Hausdorff ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie 1 Er wurde 1924 von Felix Hausdorff in den Fundamenta Mathematicae veroffentlicht 2 Der G d displaystyle G delta Satz wird von manchen Autoren 3 auch dem russischen Mathematiker Paul Alexandroff zugeschrieben welcher den Satz fur den separablen Fall das heisst fur den Spezialfall polnischer Raume bewiesen hatte 4 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Umkehrung 3 Folgerung 4 Literatur 4 1 Originalarbeiten 4 2 Bucher 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenIn einem vollstandigen metrischen Raum ist ein Unterraum welcher eine G d displaystyle G delta nbsp Menge also die Schnittmenge abzahlbar vieler offener Teilmengen ist stets vollstandig metrisierbar Umkehrung BearbeitenDer G d displaystyle G delta nbsp Satz hat eine gewisse Umkehrung in dem von Stefan Mazurkiewicz bewiesenen Satz von Mazurkiewicz 5 6 In einem metrischen Raum ist jeder vollstandig metrisierbare Unterraum eine G d displaystyle G delta nbsp Menge Folgerung BearbeitenAus dem G d displaystyle G delta nbsp Satz folgt unmittelbar dass die Menge der irrationalen Zahlen R Q q Q R q displaystyle mathbb R setminus mathbb Q bigcap q in mathbb Q mathbb R setminus q nbsp mit der von R displaystyle mathbb R nbsp herruhrenden Unterraumtopologie vollstandig metrisierbar ist 7 Konstruktiv lasst sich dies mittels der Angabe eines Homoomorphismus zum Baire Raum zeigen Literatur BearbeitenOriginalarbeiten Bearbeiten Paul Alexandroff Sur les ensembles de la premiere classe et les ensembles abstraits In Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l Academie des Sciences Band 178 Jahrgang 1924 S 185 187 Digitalisat Felix Hausdorff Die Mengen Gd in vollstandigen Raumen In Fundamenta Mathematicae Band 6 Jahrgang 1924 S 146 148 Digitalisat PDF 129 kB Stefan Mazurkiewicz Uber Borelsche Mengen In Bulletin International de l Academie des Sciences de Cracovie Classe des Sciences Mathematiques et Naturelles Serie A Sciences Mathematiques 1916 ZDB ID 761846 3 S 490 494 Bucher Bearbeiten Felix Hausdorff Gesammelte Werke Einschliesslich der unter dem Pseudonym Paul Mongre erschienenen philosophischen und literarischen Schriften und ausgewahlter Texte aus dem Nachlass Band 3 Mengenlehre 1927 1935 deskriptive Mengenlehre und Topologie Herausgegeben von Ulrich Feigner Horst Herrlich Mirek Husek Vladimir Kanovei Peter Koepke Gerhard Preuss Walter Purkert und Erhard Scholz Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 76806 7 Stephen Willard General Topology Addison Wesley Reading MA u a 1970 Einzelnachweise Bearbeiten Vladimir Kanovei Walter Purkert Mengenlehre Historische Einfuhrung In Hausdorff Gesammelte Werke Band 3 2008 S 1 40 hier S 17 Hausdorff Die Mengen Gd in vollstandigen Raumen In Hausdorff Gesammelte Werke Band 3 2008 S 443 453 hier S 445 447 Hausdorff Die Mengen Gd in vollstandigen Raumen 1924 S 146 148 Etwa Willard General Topology 1970 S 179 310 Hausdorff Die Mengen Gd in vollstandigen Raumen 1924 S 146 148 hier S 146 Mazurkiewicz Uber Borelsche Mengen 1916 S 490 494 Willard General Topology 1970 S 179 310 311 Willard General Topology 1970 S 182 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gd Satz von Hausdorff amp oldid 213645724