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Friedelsches Gesetz Das friedelsche Gesetz geht auf Georges Friedel zurück und wird in der Kristallographie bei der Kris

Friedelsches Gesetz

Das friedelsche Gesetz geht auf Georges Friedel zurück und wird in der Kristallographie bei der Kristallstrukturanalyse mit Hilfe von Röntgenstrahlung angewendet.

Es besagt, dass das Beugungsbild eines Kristalls immer zentrosymmetrisch ist, unabhängig davon, ob der Kristall selbst ein Symmetriezentrum besitzt. Oder genauer: Die Intensitäten der Reflexe hkl und hkl sind gleich, auch wenn der Kristall nicht zentrosymmetrisch ist:

Diese beiden Reflexe stammen von den beiden Seiten derselben Netzebenenschar (hkl) und werden auch als Friedel-Paare bezeichnet.

Herleitung Bearbeiten

Die Intensität Ihkl eines Braggreflexes eines Kristalls (beschrieben durch die Laue-Indizes hkl) ergibt sich als Betragsquadrat des Strukturfaktors Fhkl:

wobei * konjugiert komplex bedeutet.

Für den Strukturfaktor Fhkl gilt:

wobei die Summe sich über alle n Atome mit dem Atomformfaktoren fn der Basis eines Kristalls erstreckt, die an den Stellen xn, yn, zn liegen.

Für den dazu zentrosymmetrisch liegenden Reflex (hkl) gilt entsprechend:

Damit gilt auch:

Daraus folgt für die Intensitäten:

Umformung (1) gilt nur, wenn alle fn reelle Größen sind, was in der Regel erfüllt ist.

Anmerkung Bearbeiten

Das friedelsche Gesetz ist eine konkrete Anwendung einer Eigenschaft der Fouriertransformationen reeller Funktionen f(x):

Für die Fouriertransformation

der reellen Funktion f(x) gilt:

Folgen Bearbeiten

Aufgrund des friedelschen Gesetzes kann man mit Röntgenbeugung eine Punktgruppe, die kein Symmetriezentrum hat, von derselben Punktgruppe mit einem zusätzlichen Symmetriezentrum nicht unterscheiden. Daher lassen sich nicht alle 32 Punktgruppen kristallographisch bestimmen, sondern nur die 11 Lauegruppen.

Abweichungen Bearbeiten

Grundlage des friedelschen Gesetzes ist, dass die Atomformfaktoren reelle Größen sind (vgl. oben Anmerkung).

Für Wellenlängen in der Nähe der Absorptionskante eines Atoms bekommt der Atomformfaktor aber einen deutlichen imaginären Anteil. Daher gilt die Beziehung nicht mehr. Das friedelsche Gesetz ist dann nur noch erfüllt, wenn die Punktgruppe ein Symmetriezentrum besitzt.

Die Differenz heißt Bijvoet-Differenz. Durch ihre Auswertung kann man das Phasenproblem lösen.

Literatur Bearbeiten

  • D. Schwarzenbach: Kristallographie Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5.
  • Walter Borchardt-Ott: Kristallographie. Springer, 2002, ISBN 3-540-43964-1.
  • Werner Massa: Kristallstrukturbestimmung. Teubner, 2002, ISBN 3-519-23527-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Lothar Spieß, u. a.: Moderne Röntgenbeugung. Vieweg und Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0166-1.
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Veröffentlichungsdatum:
Das friedelsche Gesetz geht auf Georges Friedel zuruck und wird in der Kristallographie bei der Kristallstrukturanalyse mit Hilfe von Rontgenstrahlung angewendet Es besagt dass das Beugungsbild eines Kristalls immer zentrosymmetrisch ist unabhangig davon ob der Kristall selbst ein Symmetriezentrum besitzt Oder genauer Die Intensitaten der Reflexe hkl und h k l sind gleich auch wenn der Kristall nicht zentrosymmetrisch ist I h k l I h k l displaystyle I hkl I bar h bar k bar l Diese beiden Reflexe stammen von den beiden Seiten derselben Netzebenenschar hkl und werden auch als Friedel Paare bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 1 1 Anmerkung 2 Folgen 3 Abweichungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenDie Intensitat Ihkl eines Braggreflexes eines Kristalls beschrieben durch die Laue Indizes hkl ergibt sich als Betragsquadrat des Strukturfaktors Fhkl I h k l F h k l F h k l F h k l 2 displaystyle I hkl F hkl cdot F hkl F hkl 2 nbsp wobei konjugiert komplex bedeutet Fur den Strukturfaktor Fhkl gilt F h k l n f n e 2 p i h x n k y n l z n displaystyle F hkl sum n f n e 2 pi i hx n ky n lz n nbsp dd wobei die Summe sich uber alle n Atome mit dem Atomformfaktoren fn der Basis eines Kristalls erstreckt die an den Stellen xn yn zn liegen Fur den dazu zentrosymmetrisch liegenden Reflex h k l gilt entsprechend F h k l n f n e 2 p i h x n k y n l z n 1 n f n e 2 p i h x n k y n l z n F h k l displaystyle F bar h bar k bar l sum n f n e 2 pi i hx n ky n lz n 1 left sum n f n e 2 pi i hx n ky n lz n right F hkl nbsp dd Damit gilt auch F h k l F h k l displaystyle F bar h bar k bar l F hkl nbsp dd Daraus folgt fur die Intensitaten I h k l F h k l F h k l F h k l F h k l I h k l displaystyle Rightarrow I hkl F hkl cdot F hkl F bar h bar k bar l cdot F bar h bar k bar l I bar h bar k bar l nbsp Umformung 1 gilt nur wenn alle fn reelle Grossen sind was in der Regel erfullt ist Anmerkung Bearbeiten Das friedelsche Gesetz ist eine konkrete Anwendung einer Eigenschaft der Fouriertransformationen reeller Funktionen f x Fur die Fouriertransformation F k f x e i k x d x displaystyle F k int infty infty f x e ik cdot x dx nbsp der reellen Funktion f x gilt F k F k displaystyle F k F k nbsp Folgen BearbeitenAufgrund des friedelschen Gesetzes kann man mit Rontgenbeugung eine Punktgruppe die kein Symmetriezentrum hat von derselben Punktgruppe mit einem zusatzlichen Symmetriezentrum nicht unterscheiden Daher lassen sich nicht alle 32 Punktgruppen kristallographisch bestimmen sondern nur die 11 Lauegruppen Abweichungen BearbeitenGrundlage des friedelschen Gesetzes ist dass die Atomformfaktoren reelle Grossen sind vgl oben Anmerkung Fur Wellenlangen in der Nahe der Absorptionskante eines Atoms bekommt der Atomformfaktor aber einen deutlichen imaginaren Anteil Daher gilt die Beziehung F h k l F h k l displaystyle F hkl F bar h bar k bar l nbsp nicht mehr Das friedelsche Gesetz ist dann nur noch erfullt wenn die Punktgruppe ein Symmetriezentrum besitzt Die Differenz F h k l 2 F h k l 2 displaystyle F hkl 2 F bar h bar k bar l 2 nbsp heisst Bijvoet Differenz 1 Durch ihre Auswertung kann man das Phasenproblem losen Literatur BearbeitenD Schwarzenbach Kristallographie Springer Verlag Berlin 2001 ISBN 3 540 67114 5 Walter Borchardt Ott Kristallographie Springer 2002 ISBN 3 540 43964 1 Werner Massa Kristallstrukturbestimmung Teubner 2002 ISBN 3 519 23527 7 Einzelnachweise Bearbeiten Lothar Spiess u a Moderne Rontgenbeugung Vieweg und Teubner 2009 ISBN 978 3 8351 0166 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Friedelsches Gesetz amp oldid 219991150