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Fresnel Integral Als e werden in der Mathematik insbesondere im Teilgebiet der Analysis zwei uneigentliche Integrale bez

Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.

Definition Bearbeiten

Die beiden Integrale

heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.

Geschichte Bearbeiten

Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale

und

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik Bearbeiten

Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante ist

ist eine ganze natürliche Zahl. Für ist das Integral

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von , der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit und und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

Literatur Bearbeiten

  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-59075-7, S. 178 f.
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, S. 47.

Weblinks Bearbeiten

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Als Fresnel Integrale werden in der Mathematik insbesondere im Teilgebiet der Analysis zwei uneigentliche Integrale bezeichnet die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Geschichte 3 Fresnel Integrale in der Quantenmechanik 4 Literatur 5 WeblinksDefinition BearbeitenDie beiden Integrale cos t 2 d t sin t 2 d t 1 2 2 p displaystyle int infty infty cos t 2 mathrm d t int infty infty sin t 2 mathrm d t tfrac 1 2 sqrt 2 pi nbsp heissen Fresnel Integrale Sie ergeben sich aus dem gaussschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes Geschichte BearbeitenFresnel beschaftigte sich um 1819 mit diesen Integralen Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale e a 2 1 t 2 cos 2 a t 2 d t p 1 a 2 1 a 1 displaystyle int infty infty e a 2 1 t 2 cos 2at 2 mathrm d t frac sqrt pi 1 a 2 qquad 1 leq a leq 1 nbsp und e a 2 1 t 2 sin 2 a t 2 d t a p 1 a 2 1 a 1 displaystyle int infty infty e a 2 1 t 2 sin 2at 2 mathrm d t frac a sqrt pi 1 a 2 qquad 1 leq a leq 1 nbsp Fresnel Integrale in der Quantenmechanik BearbeitenSie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik Der Ansatz die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten basiert auf Integralen der Form F j N e i a 3 2 3 j d 3 displaystyle mathcal F j equiv mathcal N int infty infty mathrm e i alpha xi 2 xi j mathrm d xi nbsp Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante N displaystyle mathcal N nbsp ist N a i p displaystyle mathcal N equiv sqrt frac alpha i pi nbsp j displaystyle j nbsp ist eine ganze naturliche Zahl Fur j 0 displaystyle j 0 nbsp ist das Integral F F 0 N e i a 3 2 d 3 displaystyle mathcal F equiv mathcal F 0 equiv mathcal N int infty infty mathrm e i alpha xi 2 mathrm d xi nbsp und heisst dann Fresnel Integral Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrodingergleichung auf Aus dem Fresnel Integral ergibt sich eine komplexe Zahl deren Real und Imaginarteile bestimmt sind durch cos a 3 2 d 3 p 2 a displaystyle int infty infty cos alpha xi 2 mathrm d xi sqrt frac pi 2 left alpha right nbsp und sin a 3 2 d 3 p 2 a sign a displaystyle int infty infty sin alpha xi 2 mathrm d xi sqrt frac pi 2 left alpha right cdot operatorname sign alpha nbsp Beide Integrale konvergieren Das Cosinus Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenuber einem Vorzeichenwechsel von a displaystyle alpha nbsp der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen Aus der Addition ergibt sich mit i e i p 4 displaystyle sqrt i e i frac pi 4 nbsp und 1 e i p displaystyle 1 e i pi nbsp und einer Fallunterscheidung fur die Signumfunktion als Losung des Fresnel Integrals F F 0 N e i a 3 2 d 3 a i p i p a 1 displaystyle mathcal F equiv mathcal F 0 equiv mathcal N int infty infty mathrm e i alpha xi 2 mathrm d xi sqrt frac alpha i pi cdot sqrt frac i pi alpha 1 nbsp Hieraus erklart sich auch die Normierungskonstante die genau das Inverse der Integrallosung sein muss damit der Gesamtausdruck 1 ist In der Quantenmechanik wahlt man dies aus pragmatischen Grunden und aus der Idee heraus dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht also muss das Integral uber diese Funktion 1 sein da sich das beschriebene Teilchen schliesslich irgendwo befindet Literatur BearbeitenReinhold Remmert Georg Schumacher Funktionentheorie 1 5 Auflage Springer Verlag 2002 ISBN 3 540 59075 7 S 178 f Reinhold Remmert Georg Schumacher Funktionentheorie 2 3 Auflage Springer Verlag 2007 ISBN 978 3 540 40432 3 S 47 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Fresnel integrals Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fresnel Integral amp oldid 230785039