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Extensive Abbildung Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung Mengen zu vergrößern Entsp

Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition Bearbeiten

Sei eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

heißt extensiv, falls gilt:

Sie heißt intensiv, falls gilt:

Beispiele Bearbeiten

  1. Auf ist die Identität extensiv und intensiv, da immer gilt.
  2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser Bearbeiten

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung bereits dann einen Fixpunkt, falls streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur Bearbeiten

  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut u. a., Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
  • Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8.
  • Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.
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Extensivitat bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung Mengen zu vergrossern Entsprechend verkleinern intensive auch anti extensive Abbildungen Mengen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Fixpunktsatz von Bourbaki Kneser 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei A displaystyle A leq nbsp eine teilweise geordnete Menge Eine Abbildung f A A displaystyle f colon A to A nbsp heisst extensiv falls gilt a f a displaystyle a leq f a nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp Sie heisst intensiv falls gilt f a a displaystyle f a leq a nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp Beispiele BearbeitenAuf A displaystyle A leq nbsp ist die Identitat id A a a displaystyle operatorname id A colon a mapsto a nbsp extensiv und intensiv da a a displaystyle a leq a nbsp immer gilt Definitionsgemass sind Hullenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung Fixpunktsatz von Bourbaki Kneser BearbeitenNach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung f A A displaystyle f colon A rightarrow A nbsp bereits dann einen Fixpunkt falls A displaystyle A nbsp streng induktiv geordnet ist Daraus lasst sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen Literatur BearbeitenMarcel Erne Einfuhrung in die Ordnungstheorie Bibliographisches Institut u a Mannheim u a 1982 ISBN 3 411 01638 8 Heinrich Werner Einfuhrung in die allgemeine Algebra BI Hochschultaschenbucher Band 120 Bibliographisches Institut Mannheim u a 1978 ISBN 3 411 00120 8 Serge Lang Algebra 3 edition reprinted with corrections Addison Wesley Reading MA u a 1993 ISBN 0 201 55540 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Extensive Abbildung amp oldid 197286053