Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Zur gleichnamigen Geheimdienstkooperation siehe Operation Eikonal Als Eikonal Altgriechisch eἰkwn eikon Bild Abbild wird in der geometrischen Optik die Strecke eines Lichtstrahls zwischen Ausgangs und Endpunkt bezeichnet mittlerweile bezeichnet der Begriff meist das Bruns Eikonal Bruns Eikonal BearbeitenDas Bruns Eikonal oder Brunssche Eikonal ist eine Funktion die gemass dem Fermatschen Prinzip den kurzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennten Punkten beschreibt Sie wurde vom deutschen Mathematiker Heinrich Bruns 1895 veroffentlicht und in der Strahlenoptik benutzt Der Name Eikonal stammt von Bruns das Verfahren war aber schon William Rowan Hamilton bekannt der es charakteristische Funktion nannte Hamilton Jacobi Gleichung und in Optik und Mechanik anwandte Das Bruns Eikonal wird bei akustischen Wellen und anderen Wellenphanomenen angewendet z B in der Seismologie zur Berechnung der Ausbreitung seismischer Wellen Herleitung BearbeitenNachfolgend soll die Eikonalgleichung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung hergeleitet werden In der Quantenmechanik wird ein ahnliches Verfahren verwendet die semiklassische WKB Naherung Wir gehen also von der akustischen Wellengleichung mit dem Druck p displaystyle p nbsp dem Ortsvektor x displaystyle vec x nbsp der ortsabhangigen Ausbreitungsgeschwindigkeit c c x displaystyle c c vec x nbsp und konstanter Dichte aus 2 p 1 c 2 2 p t 2 0 displaystyle nabla 2 p frac 1 c 2 frac partial 2 p partial t 2 0 nbsp Gesucht ist ein zeitlich harmonischer Hochfrequenzansatz fur den eine frequenz und zeitunabhangige Amplitude P x displaystyle P vec x nbsp und die Laufzeitfunktion ϕ x displaystyle phi vec x nbsp angenommen werden kann Sie hat die Form p x t P x e i w t ϕ x displaystyle p vec x t P vec x e mathrm i omega t phi vec x nbsp Zunachst berechnet man die Zeitableitungen der Wellengleichung p t i w P x e i w t ϕ x 2 p t 2 w 2 P x e i w t ϕ x displaystyle frac partial p partial t mathrm i omega P vec x e i omega t phi vec x quad frac partial 2 p partial t 2 omega 2 P vec x e i omega t phi vec x nbsp Nun folgen die Ortsableitungen p P e i w t ϕ x i w P e i w t ϕ x ϕ P i w P ϕ e i w t ϕ x displaystyle nabla p nabla Pe mathrm i omega t phi vec x mathrm i omega Pe mathrm i omega t phi vec x nabla phi nabla P mathrm i omega P nabla phi e mathrm i omega t phi vec x nbsp Wegen der vektoriellen Identitat a x b x a x b x a x b x displaystyle nabla cdot left a vec x vec b vec x right nabla a vec x cdot vec b vec x a vec x nabla cdot vec b vec x nbsp gilt weiter 2 p p displaystyle nabla 2 p nabla cdot nabla p nbsp P i w P ϕ e i w t ϕ x P i w P ϕ e i w t ϕ x displaystyle nabla cdot nabla P mathrm i omega P nabla phi e mathrm i omega t phi vec x nabla P mathrm i omega P nabla phi cdot nabla e mathrm i omega t phi vec x nbsp 2 P i w P ϕ i w P 2 ϕ i w P i w P ϕ ϕ e i w t ϕ x displaystyle left nabla 2 P mathrm i omega nabla P cdot nabla phi mathrm i omega P nabla 2 phi mathrm i omega nabla P mathrm i omega P nabla phi cdot nabla phi right e mathrm i omega t phi vec x nbsp 2 P 2 i w P ϕ i w P 2 ϕ w 2 P ϕ 2 e i w t ϕ x displaystyle left nabla 2 P 2 mathrm i omega nabla P cdot nabla phi mathrm i omega P nabla 2 phi omega 2 P nabla phi 2 right e mathrm i omega t phi vec x nbsp Die beiden Ableitungen in die Wellengleichung eingesetzt ergeben nach Division durch e i w t ϕ x displaystyle e mathrm i omega t phi vec x nbsp w 2 P ϕ 2 1 c 2 i w 2 P ϕ P 2 ϕ 2 P 0 displaystyle omega 2 P left nabla phi 2 frac 1 c 2 right mathrm i omega left 2 nabla P cdot nabla phi P nabla 2 phi right nabla 2 P 0 nbsp Eine Division durch w 2 P displaystyle omega 2 P nbsp fuhrt dann zu ϕ 2 1 c 2 i w P 2 P ϕ P 2 ϕ 1 w 2 P 2 P 0 displaystyle left nabla phi 2 frac 1 c 2 right frac mathrm i omega P left 2 nabla P cdot nabla phi P nabla 2 phi right frac 1 omega 2 P left nabla 2 P right 0 nbsp Da Real und Imaginarteil der Gleichung unabhangig voneinander gleich null sein mussen folgt ϕ 2 1 c 2 1 w 2 P 2 P 0 displaystyle left nabla phi 2 frac 1 c 2 right frac 1 omega 2 P left nabla 2 P right 0 nbsp Bei der Naherung geht man davon aus dass die Amplitude P displaystyle P nbsp nur schwach ortsabhangig 2 P displaystyle nabla 2 P nbsp also beschrankt ist Da gleichzeitig weder die Laufzeit ϕ displaystyle phi nbsp noch die Amplitude P displaystyle P nbsp frequenzabhangig sind ist der zweite Term fur sehr hohe Frequenzen klein gegenuber dem ersten Term und die Gleichung vereinfacht sich auf ϕ 2 1 c 2 displaystyle left nabla phi right 2 frac 1 c 2 nbsp Die Losung ϕ x displaystyle phi vec x nbsp der Eikonalgleichung ordnet jedem Punkt im Ortsraum die Laufzeit der Welle zu Linien gleicher Laufzeit lassen sich entsprechend als Wellenfronten interpretieren Normdaten Sachbegriff GND 4151213 3 lobid OGND AKS LCCN sh85041408 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Eikonal amp oldid 230859375
