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Ehrenfest Modell Das auch als Ehrenfest Kette bekannt ist ein stochastisches Modell das den Stoffaustausch zwischen zwei

Ehrenfest-Modell

Das Ehrenfest-Modell (auch als Ehrenfest-Kette bekannt) ist ein stochastisches Modell, das den Stoffaustausch zwischen zwei durch eine Membran getrennte Behältnisse beschreibt. Das Modell wurde zuerst durch den österreichischen Physiker Paul Ehrenfest (1880–1933) vorgeschlagen und ist einer von vielen Beiträgen der Physik zur Entwicklung der mathematischen Theorie der stochastischen Prozesse.

Das Modell Bearbeiten

Bei verschiedenen Substanzen wurde beobachtet, dass die Verteilung der Substanz in einem solchen Experiment im Laufe der Zeit zwar einem Gleichgewichtszustand entgegenstrebt, aber dennoch auch nach Erreichen desselben stets unkontrollierbaren, scheinbar zufälligen Schwankungen ausgesetzt bleibt.

Diesen Umstand versuchte das folgende Modell zu erklären:

Zu Beginn befinden sich in beiden Behältern zusammen eine endliche Anzahl von Partikeln; etwa die einzelnen Moleküle des Stoffes, wovon sich anfangs im linken und analog im rechten Behälter aufhalten. In jedem Zeitschritt wird nun genau eines dieser Teilchen gleichverteilt ausgewählt, das den Behälter wechselt, sodass und in jedem Schritt genau um eins ansteigen oder fallen.

Mathematisch gesehen handelt es sich bei diesem zufälligen Vorgang um eine Markow-Kette mit Zustandsraum und einer Übergangsmatrix , gegeben durch

Mathematische Eigenschaften Bearbeiten

  • Die oben definierte Ehrenfest-Kette besitzt eine eindeutig bestimmte stationäre Verteilung: Ist die Anzahl der Teilchen im linken (oder rechten) Behälter binomialverteilt mit Parameter , ist also für , so hat dieselbe Verteilung.
  • Die Konvergenz der Kette gegen diese Verteilung ist allerdings nicht gegeben, da die Kette periodisch ist (das erkennt man daran, dass stets zwischen geraden und ungeraden Zahlen wechselt und somit jedes zweite Mal gleich null ist). Dies kann man umgehen, indem man zur aperiodischen Version der Kette übergeht und die Übergangsmatrix für einen festen Parameter durch die Matrix ersetzt (dabei ist die Einheitsmatrix).
    Interpretation: mit Wahrscheinlichkeit bleibt die Anzahl der Teilchen in den Behältern unverändert, mit Wahrscheinlichkeit ändert sie sich nach dem oben beschriebenen Verfahren.
    Dadurch wird die Kette aperiodisch und konvergiert für gegen die stationäre Verteilung, die sich durch diese Modifikation nicht ändert.

Beispiel Bearbeiten

Beispielhafte Darstellung des Ehrenfest-Modells. Zu Beginn befinden sich alle 10 Partikel noch im linken Behälter.
Übergangsgraph (beschränkt auf die Zustände 5 bis 10) mit den Übergangswahrscheinlichkeiten. Die Zustände repräsentieren die Anzahl der Partikel im linken Behälter.

Gegeben seien zwei Behälter, die durch eine Membran voneinander getrennt sind. In dem linken Behälter befinden sich zu Beginn des Experiments Moleküle und der rechte Behälter ist noch leer. Durch die Membran kann genau ein Molekül pro Zeiteinheit den Behälter wechseln.

Da der rechte Behälter zu Beginn noch leer ist, wird in der ersten Sekunde ein Molekül aus dem linken in den rechten Behälter fliegen. Anschließend befinden sich nur noch Moleküle in dem linken Behälter. Nun gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder eines der verbleibenden Moleküle des linken Behälters fliegt in den rechten Bereich, oder das Molekül rechts fliegt wieder zurück in den linken Bereich. Jedes Molekül soll hierbei die gleiche Chance haben, den Behälter zu wechseln. Demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit  %, dass ein weiteres Molekül von links nach rechts fliegt. Bei Molekülen links beträgt diese Wahrscheinlichkeit nur noch  % und so weiter.

Der Übergangsgraph enthält die Zustände bis , welche die Anzahl der Moleküle im linken Behälter repräsentieren. Die Markow-Kette startet im Zustand . Vervollständigt man den Übergangsgraphen und erstellt eine dazu passende Übergangsmatrix, kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Anzahl Moleküle im linken Behälter für jeden Zeitpunkt bestimmen. Nach Zeiteinheiten besteht mit einer Wahrscheinlichkeit von  % zum ersten Mal die Möglichkeit zum physikalischen Gleichgewicht.

Die stationäre Verteilung lässt sich mit Hilfe der oben formulierten Formel

ermitteln. Dadurch ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Literatur Bearbeiten

  • Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 166f.
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Das Ehrenfest Modell auch als Ehrenfest Kette bekannt ist ein stochastisches Modell das den Stoffaustausch zwischen zwei durch eine Membran getrennte Behaltnisse beschreibt Das Modell wurde zuerst durch den osterreichischen Physiker Paul Ehrenfest 1880 1933 vorgeschlagen und ist einer von vielen Beitragen der Physik zur Entwicklung der mathematischen Theorie der stochastischen Prozesse Inhaltsverzeichnis 1 Das Modell 2 Mathematische Eigenschaften 3 Beispiel 4 LiteraturDas Modell BearbeitenBei verschiedenen Substanzen wurde beobachtet dass die Verteilung der Substanz in einem solchen Experiment im Laufe der Zeit zwar einem Gleichgewichtszustand entgegenstrebt aber dennoch auch nach Erreichen desselben stets unkontrollierbaren scheinbar zufalligen Schwankungen ausgesetzt bleibt Diesen Umstand versuchte das folgende Modell zu erklaren Zu Beginn befinden sich in beiden Behaltern zusammen eine endliche Anzahl von N displaystyle N nbsp Partikeln etwa die einzelnen Molekule des Stoffes wovon sich anfangs l 0 N displaystyle l 0 leq N nbsp im linken und analog r 0 N l 0 N displaystyle r 0 N l 0 leq N nbsp im rechten Behalter aufhalten In jedem Zeitschritt wird nun genau eines dieser N displaystyle N nbsp Teilchen gleichverteilt ausgewahlt das den Behalter wechselt sodass l displaystyle l nbsp und r displaystyle r nbsp in jedem Schritt genau um eins ansteigen oder fallen Mathematisch gesehen handelt es sich bei diesem zufalligen Vorgang um eine Markow Kette l n n N 0 displaystyle l n n in mathbb N 0 nbsp mit Zustandsraum 0 1 2 N displaystyle 0 1 2 ldots N nbsp und einer Ubergangsmatrix P p a b displaystyle Pi left pi a b right nbsp gegeben durch p a b a N falls b a 1 N a N falls b a 1 0 sonst displaystyle pi a b begin cases frac a N amp text falls b a 1 frac N a N amp text falls b a 1 0 amp text sonst end cases nbsp Mathematische Eigenschaften BearbeitenDie oben definierte Ehrenfest Kette besitzt eine eindeutig bestimmte stationare Verteilung Ist die Anzahl l n displaystyle l n nbsp der Teilchen im linken oder rechten Behalter binomialverteilt mit Parameter 1 2 displaystyle frac 1 2 nbsp ist also P l n k N k 1 2 N displaystyle P l n k binom N k frac 1 2 N nbsp fur k 0 1 N displaystyle k 0 1 ldots N nbsp so hat l n 1 displaystyle l n 1 nbsp dieselbe Verteilung Die Konvergenz der Kette gegen diese Verteilung ist allerdings nicht gegeben da die Kette periodisch ist das erkennt man daran dass l n displaystyle l n nbsp stets zwischen geraden und ungeraden Zahlen wechselt und somit P l n k displaystyle P l n k nbsp jedes zweite Mal gleich null ist Dies kann man umgehen indem man zur aperiodischen Version der Kette ubergeht und die Ubergangsmatrix P displaystyle Pi nbsp fur einen festen Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp durch die Matrix P p I N 1 1 p P displaystyle hat Pi pI N 1 1 p Pi nbsp ersetzt dabei ist I N 1 displaystyle I N 1 nbsp die Einheitsmatrix Interpretation mit Wahrscheinlichkeit p displaystyle p nbsp bleibt die Anzahl der Teilchen in den Behaltern unverandert mit Wahrscheinlichkeit 1 p displaystyle 1 p nbsp andert sie sich nach dem oben beschriebenen Verfahren Dadurch wird die Kette aperiodisch und konvergiert fur n displaystyle n to infty nbsp gegen die stationare Verteilung die sich durch diese Modifikation nicht andert Beispiel Bearbeiten nbsp Beispielhafte Darstellung des Ehrenfest Modells Zu Beginn befinden sich alle 10 Partikel noch im linken Behalter nbsp Ubergangsgraph beschrankt auf die Zustande 5 bis 10 mit den Ubergangswahrscheinlichkeiten Die Zustande reprasentieren die Anzahl der Partikel im linken Behalter Gegeben seien zwei Behalter die durch eine Membran voneinander getrennt sind In dem linken Behalter befinden sich zu Beginn des Experiments 10 displaystyle 10 nbsp Molekule und der rechte Behalter ist noch leer Durch die Membran kann genau ein Molekul pro Zeiteinheit den Behalter wechseln Da der rechte Behalter zu Beginn noch leer ist wird in der ersten Sekunde ein Molekul aus dem linken in den rechten Behalter fliegen Anschliessend befinden sich nur noch 9 displaystyle 9 nbsp Molekule in dem linken Behalter Nun gibt es zwei Moglichkeiten Entweder eines der verbleibenden 9 displaystyle 9 nbsp Molekule des linken Behalters fliegt in den rechten Bereich oder das Molekul rechts fliegt wieder zuruck in den linken Bereich Jedes Molekul soll hierbei die gleiche Chance haben den Behalter zu wechseln Demnach betragt die Wahrscheinlichkeit 90 displaystyle 90 nbsp dass ein weiteres Molekul von links nach rechts fliegt Bei 8 displaystyle 8 nbsp Molekulen links betragt diese Wahrscheinlichkeit nur noch 80 displaystyle 80 nbsp und so weiter Der Ubergangsgraph enthalt die Zustande 0 displaystyle 0 nbsp bis 10 displaystyle 10 nbsp welche die Anzahl der Molekule im linken Behalter reprasentieren Die Markow Kette startet im Zustand 10 displaystyle 10 nbsp Vervollstandigt man den Ubergangsgraphen und erstellt eine dazu passende Ubergangsmatrix kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilungen fur die Anzahl Molekule im linken Behalter fur jeden Zeitpunkt bestimmen Nach 5 displaystyle 5 nbsp Zeiteinheiten besteht mit einer Wahrscheinlichkeit von 30 2 displaystyle 30 2 nbsp zum ersten Mal die Moglichkeit zum physikalischen Gleichgewicht Die stationare Verteilung lasst sich mit Hilfe der oben formulierten Formel P l n k P l n 1 k 10 k 1 2 10 displaystyle P l n k P l n 1 k binom 10 k frac 1 2 10 nbsp fur k 0 1 10 displaystyle k 0 1 ldots 10 nbsp ermitteln Dadurch ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung 0 10 0 98 4 39 11 72 20 51 24 61 20 51 11 72 4 39 0 98 0 10 displaystyle 0 10 0 98 4 39 11 72 20 51 24 61 20 51 11 72 4 39 0 98 0 10 nbsp Literatur BearbeitenHans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage de Gruyter Lehrbuch Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 166f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ehrenfest Modell amp oldid 234065711