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Differenz Operator Ein ist in der Mathematik ein Operator mit dem die Differenz einer Funktion in mehreren Variablen ver

Differenz-Operator

Ein Differenz-Operator ist in der Mathematik ein Operator, mit dem die Differenz einer Funktion in mehreren Variablen verallgemeinert wird. Dadurch lassen sich beispielsweise Eigenschaften wie die Monotonie einer reellen Funktion einer Variable auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. Ein anderes Anwendungsgebiet von Differenz-Operatoren ist die Stochastik und Maßtheorie, wo mit ihrer Hilfe abstrakte Volumenbegriffe definiert werden.

Definition Bearbeiten

Mehrdimensionale Analysis Bearbeiten

Gegeben sei eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen

Dann ist der Differenzenoperator für definiert als

und die Differenzenbildung in der -ten Komponente als

Finite Differenzen Bearbeiten

In der Theorie der finiten Differenzen existieren auch die Differenzoperatoren

und

Geschrieben mit dem Shiftoperator als

Allgemeiner Bearbeiten

Allgemeiner definiert man die Vorwärts-Differenz

die Rückwärts-Differenz

und die zentrierte Differenz

Erläuterung Bearbeiten

Durch Austausch der einzelnen Komponenten wird von den beiden Vektoren ein Quader im mit Ecken erzeugt. Die Funktionswerte an diesen Ecken werden dann noch in Abhängigkeit von Ursprungsvektor der Komponenten mit einem Vorzeichen versehen und dann addiert, beispielsweise für :

Die Differenzbildung in der -ten Komponente ist zwar konstant im -ten Eintrag, wird aber meist immer noch als Funktion auf aufgefasst, um das weitere Anwenden von Differenzoperatoren zu ermöglichen.

Eigenschaften Bearbeiten

Der Differenzen-Operator ist linear, das heißt, es gilt

Des Weiteren ist

Außerdem gilt für

Die Differenzbildung der Komponenten ist also vertauschbar.

Verwendung Bearbeiten

Mittels des Differenzoperators lässt sich beispielsweise die Monotonie einer Funktion verallgemeinern: Eine Funktion heißt dann rechtecksmonoton, wenn

gilt. Dabei ist komponentenweise zu verstehen, also für alle Indizes. Darauf aufbauend lassen sich solche Funktionen dann weiter untersuchen.

Außerdem werden Differenzoperatoren in der Maßtheorie und der Stochastik zur Definition von Maßen auf dem mittels multivariater Verteilungsfunktionen verwendet.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 65–72, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Antonio J. Durán: Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions. In: Cambridge University Press (Hrsg.): London Mathematical Society Lecture Note Series. 2020.
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Ein Differenz Operator ist in der Mathematik ein Operator mit dem die Differenz einer Funktion in mehreren Variablen verallgemeinert wird Dadurch lassen sich beispielsweise Eigenschaften wie die Monotonie einer reellen Funktion einer Variable auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern Ein anderes Anwendungsgebiet von Differenz Operatoren ist die Stochastik und Masstheorie wo mit ihrer Hilfe abstrakte Volumenbegriffe definiert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Mehrdimensionale Analysis 1 2 Finite Differenzen 1 2 1 Allgemeiner 2 Erlauterung 3 Eigenschaften 4 Verwendung 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenMehrdimensionale Analysis Bearbeiten Gegeben sei eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen F R n R displaystyle F mathbb R n to mathbb R nbsp Dann ist der Differenzenoperator fur a 1 a 1 1 a n 1 a 2 a 1 2 a n 2 displaystyle a 1 a 1 1 dots a n 1 a 2 a 1 2 dots a n 2 nbsp definiert als D a 1 a 2 F i 1 i n 1 2 1 i 1 i n F a 1 i 1 a n i n displaystyle Delta a 1 a 2 F sum i 1 dots i n in 1 2 1 i 1 dots i n F a 1 i 1 dots a n i n nbsp und die Differenzenbildung in der n displaystyle nu nbsp ten Komponente als n D a b F F x 1 x n 1 b x n 1 x n F x 1 x n 1 a x n 1 x n displaystyle nu Delta alpha beta F F x 1 dots x nu 1 beta x nu 1 dots x n F x 1 dots x nu 1 alpha x nu 1 dots x n nbsp Finite Differenzen Bearbeiten In der Theorie der finiten Differenzen existieren auch die Differenzoperatoren 1 D f f x 1 f x displaystyle Delta f f x 1 f x nbsp und f f x f x 1 displaystyle nabla f f x f x 1 nbsp Geschrieben mit dem Shiftoperator s a f f x a displaystyle operatorname s a f f x a nbsp als D f s 1 id f f id s 1 f displaystyle Delta f operatorname s 1 operatorname id f qquad nabla f operatorname id operatorname s 1 f nbsp Allgemeiner Bearbeiten Allgemeiner definiert man die Vorwarts Differenz D h f f x h f x displaystyle Delta h f f x h f x nbsp die Ruckwarts Differenz h f f x f x h displaystyle nabla h f f x f x h nbsp und die zentrierte Differenz d h f f x h 2 f x h 2 displaystyle delta h f f x tfrac h 2 f x tfrac h 2 nbsp Erlauterung BearbeitenDurch Austausch der einzelnen Komponenten wird von den beiden Vektoren ein Quader im R n displaystyle mathbb R n nbsp mit 2 n displaystyle 2 n nbsp Ecken erzeugt Die Funktionswerte an diesen Ecken werden dann noch in Abhangigkeit von Ursprungsvektor der Komponenten mit einem Vorzeichen versehen und dann addiert beispielsweise fur n 2 displaystyle n 2 nbsp D a 1 a 2 F F a 1 2 a 2 2 F a 1 1 a 2 2 F a 1 2 a 2 1 F a 1 1 a 2 1 displaystyle Delta a 1 a 2 F F a 1 2 a 2 2 F a 1 1 a 2 2 F a 1 2 a 2 1 F a 1 1 a 2 1 nbsp Die Differenzbildung in der n displaystyle nu nbsp ten Komponente ist zwar konstant im n displaystyle nu nbsp ten Eintrag wird aber meist immer noch als Funktion auf R n displaystyle mathbb R n nbsp aufgefasst um das weitere Anwenden von Differenzoperatoren zu ermoglichen Eigenschaften BearbeitenDer Differenzen Operator ist linear das heisst es gilt D a 1 a 2 F G D a 1 a 2 F D a 1 a 2 G displaystyle Delta a 1 a 2 F G Delta a 1 a 2 F Delta a 1 a 2 G nbsp Des Weiteren ist D a 1 a 2 F i 1 1 2 1 i 1 i 2 1 2 1 i 2 i n 1 2 1 i n F a 1 i 1 a n i n 1 D a 1 1 a 1 2 n D a n 1 a n 2 F displaystyle Delta a 1 a 2 F sum i 1 1 2 1 i 1 cdot sum i 2 1 2 1 i 2 cdot dots cdot sum i n 1 2 1 i n F a 1 i 1 dots a n i n 1 Delta a 1 1 a 1 2 cdots n Delta a n 1 a n 2 F nbsp Ausserdem gilt fur m n displaystyle mu neq nu nbsp m D a b n D a b F n D a b m D a b F displaystyle mu Delta alpha beta nu Delta alpha beta F nu Delta alpha beta mu Delta alpha beta F nbsp Die Differenzbildung der Komponenten ist also vertauschbar Verwendung BearbeitenMittels des Differenzoperators lasst sich beispielsweise die Monotonie einer Funktion verallgemeinern Eine Funktion F R n R displaystyle F colon mathbb R n to mathbb R nbsp heisst dann rechtecksmonoton wenn a b D a b F 0 displaystyle a leq b implies Delta a b F geq 0 nbsp gilt Dabei ist a b displaystyle a leq b nbsp komponentenweise zu verstehen also a b a i b i displaystyle a leq b iff a i leq b i nbsp fur alle Indizes Darauf aufbauend lassen sich solche Funktionen dann weiter untersuchen Ausserdem werden Differenzoperatoren in der Masstheorie und der Stochastik zur Definition von Massen auf dem R n displaystyle mathbb R n nbsp mittels multivariater Verteilungsfunktionen verwendet Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 S 65 72 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Antonio J Duran Lectures on Orthogonal Polynomials and Special Functions In Cambridge University Press Hrsg London Mathematical Society Lecture Note Series 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Differenz Operator amp oldid 228379307