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Diamant Norm Dieser Artikel beschreibt die Super Operatornorm der Quantenmechanik Zu Werkzeugen mit Diamantbesatz siehe

Diamant-Norm

Mithilfe der Diamant-Norm werden in der Quantenmechanik häufig Abstände zweier Quantenkanäle angegeben. Durch den Jamiolkowski-Isomorphismus lässt sich dieser Abstand auch auf Zustände erweitern. Bei quantenmechanischen Messungen wird das System gestört, der Zustand des Quants ändert sich. In theoretischen Überlegungen wird eine quantenmechanische Messung durchgeführt, indem ein linearer Operator auf den vorigen Zustand angewandt wird. Die Eigenwerte, die das Produkt aus Operator und Eigenvektoren hat, sind alle möglichen Messwerte, die bei einer Messung auftreten können. Es stellt sich nach der Messung die Frage, wie weit die Zustände, in denen sich die Quanten nun befinden, auseinanderliegen. Eine Möglichkeit, diesen Abstand zu bestimmen, wird durch die Diamant-Norm gegeben.

Sei ein Quantenkanal und der zugehörige Zustand:

Hierbei wird, wenn die Karten des Kanals zwei beliebigen und mit entsprechen, die Matrix auch als Choi-Jamiolkowski-Darstellung bezeichnet. Nun seien zwei Quantenkanäle, dann entspricht der Abstand in der Diamant-Norm:

mit Identitätskanal, abgebildet von auf sich selbst, Spur-Norm, dem Supremum über alle und allen Dichteoperatoren aus . Dieses Supremum ist stets errechenbar für ein fest gewähltes . Der entsprechend berechnete Abstand drückt ebenso die Irrtumswahrscheinlichkeit für eine Missdeutung des Ergebnisses zweier Quantenkanäle aus und wird bei entsprechenden Vergleichsberechnungen gerne herangezogen.:In vielen Fällen hilft auch die reine Verwendung der Spur-Norm, manchmal liefert sie aber keine zufriedenstellenden Ergebnisse, insbesondere bei der Betrachtung von Quantenkanälen.

Literatur Bearbeiten

  • Avraham Ben-Aroya, Amnon Ta-Shma: On the complexity of approximating the diamond norm. In: Quantum Physics. 2009, arxiv:0902.3397 (englisch).
  • Walter Noll: Finite-Dimensional Spaces: Algebra, Geometry and Analysis. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-94-010-9335-4, S. 168 ff. (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Andrew Childs, Michele Mosca: Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography: 4th Workshop, TQC 2009, Waterloo, Canada, May 11-13. Revised Selected Papers Springer, 10. März 2010, S. 68
  2. James M. McCracken: Negative Quantum Channels: An Introduction to Quantum Maps that are Not Completely Positive Morgan & Claypool Publishers, 2014, S. 121
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Dieser Artikel beschreibt die Super Operatornorm der Quantenmechanik Zu Werkzeugen mit Diamantbesatz siehe Diamant Mithilfe der Diamant Norm werden in der Quantenmechanik haufig Abstande zweier Quantenkanale angegeben Durch den Jamiolkowski Isomorphismus lasst sich dieser Abstand auch auf Zustande erweitern Bei quantenmechanischen Messungen wird das System gestort der Zustand des Quants andert sich In theoretischen Uberlegungen wird eine quantenmechanische Messung durchgefuhrt indem ein linearer Operator auf den vorigen Zustand angewandt wird Die Eigenwerte die das Produkt aus Operator und Eigenvektoren hat sind alle moglichen Messwerte die bei einer Messung auftreten konnen Es stellt sich nach der Messung die Frage wie weit die Zustande in denen sich die Quanten nun befinden auseinanderliegen Eine Moglichkeit diesen Abstand zu bestimmen wird durch die Diamant Norm gegeben Sei F displaystyle Phi ein Quantenkanal und J F displaystyle J Phi der zugehorige Zustand J F 1n 1 i j nF i j i j displaystyle J Phi frac 1 n sum 1 leq i j leq n Phi left left i right rangle left langle j right right otimes left i right rangle left langle j right Hierbei wird wenn die Karten des Kanals zwei beliebigen Mm C displaystyle M m mathbb C und Mn C displaystyle M n mathbb C mit m n R displaystyle m n in mathbb R entsprechen die Matrix J F displaystyle J Phi auch als Choi Jamiolkowski Darstellung bezeichnet Nun seien F1 F2 displaystyle Phi 1 Phi 2 zwei Quantenkanale dann entspricht der Abstand in der Diamant Norm F1 F2 supr F1 Idk r F2 Idk r 1 displaystyle left Phi 1 Phi 2 right diamond sup rho left Phi 1 otimes operatorname Id k rho Phi 2 otimes operatorname Id k rho right 1 mit Idk displaystyle operatorname Id k Identitatskanal abgebildet von Mk C displaystyle M k mathbb C auf sich selbst 1 displaystyle cdot 1 Spur Norm dem Supremum uber alle k 1 displaystyle k geq 1 und allen Dichteoperatoren r displaystyle rho aus Mnk Mn Mk displaystyle M nk M n otimes M k Dieses Supremum ist stets errechenbar fur ein fest gewahltes k displaystyle k Der entsprechend berechnete Abstand druckt ebenso die Irrtumswahrscheinlichkeit fur eine Missdeutung des Ergebnisses zweier Quantenkanale aus 1 und wird bei entsprechenden Vergleichsberechnungen gerne herangezogen 2 In vielen Fallen hilft auch die reine Verwendung der Spur Norm manchmal liefert sie aber keine zufriedenstellenden Ergebnisse insbesondere bei der Betrachtung von Quantenkanalen Literatur BearbeitenAvraham Ben Aroya Amnon Ta Shma On the complexity of approximating the diamond norm In Quantum Physics 2009 arxiv 0902 3397 englisch Walter Noll Finite Dimensional Spaces Algebra Geometry and Analysis Springer Science amp Business Media 2012 ISBN 978 94 010 9335 4 S 168 ff englisch eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Einzelnachweise Bearbeiten Andrew Childs Michele Mosca Theory of Quantum Computation Communication and Cryptography 4th Workshop TQC 2009 Waterloo Canada May 11 13 Revised Selected Papers Springer 10 Marz 2010 S 68 James M McCracken Negative Quantum Channels An Introduction to Quantum Maps that are Not Completely Positive Morgan amp Claypool Publishers 2014 S 121 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diamant Norm amp oldid 200228175