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Darboux Transformation Die ist eine Transformation der Lösungen und Koeffizientenfunktionen einer partiellen Differentia

Darboux-Transformation

Die Darboux-Transformation ist eine Transformation der Lösungen und Koeffizientenfunktionen einer (partiellen Differentialgleichung), die eine neue Lösung einer formähnlichen Differentialgleichung erzeugt (mit anderer Koeffizientenfunktion). Sie dient zum Beispiel dazu bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen weitere Lösungen zu finden, insbesondere in der Theorie der Solitonen, wo die zugehörigen Differentialgleichungen zum Beispiel die nichtlineare Schrödingergleichung oder die Korteweg-de-Vries-Gleichung sind.

Sie ist nach Gaston Darboux benannt, waren aber schon Th.-F. Moutard (1875, 1878) bekannt.

Das klassische Beispiel ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung vom Sturm-Liouville-Typ:

mit der Koeffizientenfunktion und einer Konstanten . Dabei bezeichnet die zweite Ableitung nach der unabhängigen Variablen . Die Differentialgleichung entspricht einer stationären Schrödingergleichung mit Potential . Es sei eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung. Eine Darboux-Transformation ist dann gegeben durch:

Denn ist eine Lösung der formähnlichen Differentialgleichung:

mit der neuen Koeffizientenfunktion

Die Spektraleigenschaften der klassischen Darboux-Transformationen wurden von M. M. Crum 1955 weiter untersucht und sie fand Anwendung (als Crum-Transformation) in der Theorie der Solitonen durch M. Wadati und Kollegen, die auch den Zusammenhang mit der Bäcklund-Transformation untersuchten was Wladimir Borissowitsch Matwejew Ende der 1970er Jahre fortsetzte.

Literatur Bearbeiten

  • C. Rogers, W. K. Schief: Backlund and Darboux Transformations, Cambridge University Press 2002, Kapitel 7
  • V.B. Matveev, M.A. Salle: Darboux transformations and solitons, Springer, 1991

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. Darboux verwendet sie in seinen Leçons sur la théorie général des surfaces, 2. Auflage, Gauthier-Villars 1912
  2. Moutard, J. Ecole Polytechnique, 45, 1878, 1–11
  3. M.M. Crum, Associated Sturm-Liouville systems, Q. J. Math. Oxford, Band 6, 1955, S. 121–127
  4. M. Wadati, H. Sanuki, K. Konno, Relationships among inverse method, Bäcklund transformation and an infinite number of conservation laws, Progr.Theor. Phys., Band 53, 1975, S. 419–436
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Die Darboux Transformation ist eine Transformation der Losungen und Koeffizientenfunktionen einer partiellen Differentialgleichung die eine neue Losung einer formahnlichen Differentialgleichung erzeugt mit anderer Koeffizientenfunktion Sie dient zum Beispiel dazu bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen weitere Losungen zu finden insbesondere in der Theorie der Solitonen wo die zugehorigen Differentialgleichungen zum Beispiel die nichtlineare Schrodingergleichung oder die Korteweg de Vries Gleichung sind Sie ist nach Gaston Darboux 1 benannt waren aber schon Th F Moutard 1875 1878 2 bekannt Das klassische Beispiel ist die Differentialgleichung zweiter Ordnung vom Sturm Liouville Typ f x x x u x f x l f x displaystyle f xx x u x f x lambda f x mit der Koeffizientenfunktion u x displaystyle u x und einer Konstanten l displaystyle lambda Dabei bezeichnet f x x displaystyle f xx die zweite Ableitung nach der unabhangigen Variablen x displaystyle x Die Differentialgleichung entspricht einer stationaren Schrodingergleichung mit Potential u x displaystyle u x Es sei g x displaystyle g x eine weitere Losung dieser Differentialgleichung Eine Darboux Transformation ist dann gegeben durch h x f x x k x f x displaystyle h x f x x k x f x mit k x g x x g x displaystyle k x frac g x x g x Denn h x displaystyle h x ist eine Losung der formahnlichen Differentialgleichung h x x x v x h x l h x displaystyle h xx x v x h x lambda h x mit der neuen Koeffizientenfunktion v x u x 2 k x displaystyle v x u x 2k x Die Spektraleigenschaften der klassischen Darboux Transformationen wurden von M M Crum 1955 3 weiter untersucht und sie fand Anwendung als Crum Transformation in der Theorie der Solitonen durch M Wadati und Kollegen die auch den Zusammenhang mit der Backlund Transformation untersuchten 4 was Wladimir Borissowitsch Matwejew Ende der 1970er Jahre fortsetzte Literatur BearbeitenC Rogers W K Schief Backlund and Darboux Transformations Cambridge University Press 2002 Kapitel 7 V B Matveev M A Salle Darboux transformations and solitons Springer 1991Weblinks BearbeitenS B Leble Darboux Transformation Encyclopedia of Mathematics SpringerEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten Darboux verwendet sie in seinen Lecons sur la theorie general des surfaces 2 Auflage Gauthier Villars 1912 Moutard J Ecole Polytechnique 45 1878 1 11 M M Crum Associated Sturm Liouville systems Q J Math Oxford Band 6 1955 S 121 127 M Wadati H Sanuki K Konno Relationships among inverse method Backlund transformation and an infinite number of conservation laws Progr Theor Phys Band 53 1975 S 419 436 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Darboux Transformation amp oldid 190640732