Bonferroni Ungleichung Die en sind Formeln die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw der Vereinig

Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni Bearbeiten

Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.

Erste Ungleichung Bearbeiten

Im Folgenden seien beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum . Es bezeichne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und die Vereinigungsmenge der Ereignisse . Bekannterweise gilt:

Allgemeiner gilt:

Es gilt auch allgemeiner:

Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

Beweis Bearbeiten

Setzt man

dann sind die paarweise disjunkt und es gilt

Damit folgt

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Zweite Ungleichung Bearbeiten

Im Folgenden seien wieder beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum . Ferner bezeichne das Komplement von . Dann folgt:

Dritte Ungleichung Bearbeiten

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):

Beispiele Bearbeiten

Es ist die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt und . Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also ,

Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also :

Siehe auch Bearbeiten

Prinzip von Inklusion und Exklusion

Literatur Bearbeiten

Frank B. Alt: Bonferroni Inequalities and Intervals. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Band 1. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 617–622, doi:10.1002/0471667196.
János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129.
J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.
Rosen et al: Handbook ... S. 433.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 04:30 am

Die Bonferroni Ungleichungen sind Formeln die zur Abschatzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw der Vereinigung von Ereignissen dienen Inhaltsverzeichnis 1 Benennung nach Bonferroni 2 Erste Ungleichung 2 1 Beweis 3 Zweite Ungleichung 4 Dritte Ungleichung 5 Beispiele 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseBenennung nach Bonferroni BearbeitenDie Bonferroni Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt 1 Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen benutzte sie aber um einen statistischen Schatzer zu definieren Bonferroni Methode Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit grosser Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen 2 Erste Ungleichung BearbeitenIm Folgenden seien E i displaystyle E i nbsp beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A mathbb P nbsp Es bezeichne P E i displaystyle mathbb P E i nbsp die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E i displaystyle E i nbsp und i 1 n E i displaystyle bigcup i 1 n E i nbsp die Vereinigungsmenge der Ereignisse E 1 E n displaystyle E 1 dots E n nbsp Bekannterweise gilt P E 1 E 2 P E 1 P E 2 P E 1 E 2 P E 1 P E 2 displaystyle mathbb P left E 1 bigcup E 2 right mathbb P left E 1 right mathbb P left E 2 right mathbb P left E 1 bigcap E 2 right leq mathbb P left E 1 right mathbb P left E 2 right nbsp Allgemeiner gilt P i 1 n E i i 1 n P E i displaystyle mathbb P left bigcup i 1 n E i right leq sum i 1 n mathbb P left E i right nbsp Es gilt auch allgemeiner P i 1 E i i 1 P E i displaystyle mathbb P left bigcup i 1 infty E i right leq sum i 1 infty mathbb P left E i right nbsp Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet Beweis Bearbeiten Setzt man A i E i j 1 i 1 E j displaystyle A i E i setminus left bigcup j 1 i 1 E j right nbsp dann sind die A i displaystyle A i nbsp paarweise disjunkt und es gilt i A i i E i displaystyle bigcup i A i bigcup i E i nbsp Damit folgt P i E i P i A i i P A i i P E i displaystyle mathbb P left bigcup i E i right mathbb P left bigcup i A i right sum i mathbb P A i leq sum i mathbb P E i nbsp Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der s Additivitat und die Ungleichung wegen A i E i displaystyle A i subseteq E i nbsp und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmasses 3 Zweite Ungleichung BearbeitenIm Folgenden seien wieder E i displaystyle E i nbsp beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A mathbb P nbsp Ferner bezeichne E i W E i displaystyle overline E i Omega setminus E i nbsp das Komplement von E i displaystyle E i nbsp Dann folgt P i 1 n E i 1 i 1 n P E i i 1 n P E i n 1 displaystyle mathbb P left bigcap i 1 n E i right geq 1 sum i 1 n mathbb P left overline E i right sum i 1 n mathbb P left E i right n 1 nbsp Dritte Ungleichung BearbeitenMit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung englisch Bonferroni s Inequality genannt wird Sie besagt unter den genannten Voraussetzungen 4 P i 1 n E i i 1 n P E i i j 1 n mit i lt j P E i E j displaystyle mathbb P left bigcup i 1 n E i right geq sum i 1 n mathbb P left E i right sum i j 1 ldots n atop text mit i lt j mathbb P left E i cap E j right nbsp Beispiele BearbeitenEs ist W 1 2 3 4 5 6 displaystyle Omega 1 2 3 4 5 6 nbsp die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Wurfelwurfs Bezeichne E 1 2 4 6 displaystyle E 1 2 4 6 nbsp das Ereignis eine gerade Zahl zu wurfeln und E 2 5 6 displaystyle E 2 5 6 nbsp das Ereignis dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist Offensichtlich gilt P E 1 1 2 displaystyle mathbb P E 1 frac 1 2 nbsp und P E 2 1 3 displaystyle mathbb P E 2 frac 1 3 nbsp Nach der ersten Bonferroni Ungleichung gilt fur das Ereignis eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu wurfeln also E 2 4 5 6 displaystyle E 2 4 5 6 nbsp P E 1 E 2 P E 1 P E 2 1 2 1 3 5 6 displaystyle mathbb P left E 1 cup E 2 right leq mathbb P left E 1 right mathbb P left E 2 right frac 1 2 frac 1 3 frac 5 6 nbsp Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel Nach der zweiten Bonferroni Ungleichung gilt fur das Ereignis eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu wurfeln also E 3 6 displaystyle E 3 6 nbsp P E 1 E 2 1 P E 1 P E 2 1 1 1 2 1 1 3 1 6 displaystyle mathbb P left E 1 cap E 2 right geq 1 mathbb P left overline E 1 right mathbb P left overline E 2 right 1 left 1 frac 1 2 right left 1 frac 1 3 right frac 1 6 nbsp Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit grosser oder gleich Null ist Jedoch folgt fur das Ereignis eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu wurfeln also E 2 4 displaystyle E 2 4 nbsp P E 1 E 2 1 P E 1 P E 2 1 1 1 2 1 2 3 1 6 displaystyle mathbb P left E 1 cap overline E 2 right geq 1 mathbb P left overline E 1 right mathbb P left E 2 right 1 left 1 frac 1 2 right left 1 frac 2 3 right frac 1 6 nbsp Siehe auch BearbeitenPrinzip von Inklusion und ExklusionLiteratur BearbeitenFrank B Alt Bonferroni Inequalities and Intervals In Samuel Kotz et al Hrsg Encyclopedia of Statistical Sciences 2 Auflage Band 1 Wiley New York 2006 ISBN 978 0 471 15044 2 S 617 622 doi 10 1002 0471667196 Janos Galambos Italo Simonelli Bonferroni type inequalities with applications Springer New York u a 1996 ISBN 0 387 94776 0 J Galambos Bonferroni inequalities In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Vorlage EoM id Klaus Dohmen Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes Inequalities and Identities of Inclusion Exclusion Type Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 20025 8 Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 7 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 67259 5 Kenneth H Rosen Hrsg Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics CRC Press 2000 ISBN 0 8493 0149 1 Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Bortz Statistik fur Human und Sozialwissenschaftler 6 Auflage Springer 2005 S 129 J Galambos Bonferroni inequalities In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Vorlage EoM id Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage de Gruyter Lehrbuch Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 S 15 Rosen et al Handbook S 433 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bonferroni Ungleichung amp oldid 233817490