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Bonferroni Korrektur Die ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einz

Bonferroni-Korrektur

Die Bonferroni-Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einzeltests bei multiplen Testen, um der Alphafehler-Kumulierung entgegenzuwirken und für die Durchschnittshypothese ein vorgegebenes Signifikanzniveau einzuhalten. Die Adjustierung vermindert die Signifikanzniveaus der Einzeltests und damit tendenziell die Anzahl der Ablehnungen richtiger Nullhypothesen (falsch-positiver Befunde in biometrischer Terminologie), so dass die verbleibenden Ablehnungen von Nullhypothesen mit einer höheren statistischen Signifikanz verbunden sind. Die Bonferroni-Methode (nach Carlo Emilio Bonferroni) umfasst neben der Bonferroni-Korrektur ein ähnliches Vorgehen zur Anpassung der Konfidenzniveaus bei der Konstruktion simultaner Konfidenzintervalle für einen mehrdimensionalen Parametervektor.

Adjustierte Signifikanzniveaus Bearbeiten

Zu statistischen Tests mit den Nullhypothesen kann die Durchschnittshypothese gebildet werden. Die Hypothesen heißen in diesem Zusammenhang Elementarhypothesen und heißt Globalhypothese. Ein Test für die Nullhypothese kann auf den Tests für die einzelnen Elementarhypothesen aufgebaut werden, da die Nullhypothese genau dann falsch ist, wenn mindestens eine der Elementarhypothesen falsch ist. Eine mögliche Testprozedur besteht also darin, genau dann abzulehnen, wenn mindestens eine der Hypothesen abgelehnt wird. Ein vorgegebenes globales Signifikanzniveau für den Test von kann im Allgemeinen nicht eingehalten werden, wenn dieses als Signifikanzniveau für jeden der Einzeltests verwendet wird, da es dann zur so genannten Alphafehler-Kumulierung kommen kann.

Um das gewünschte globale Signifikanzniveau für den Test der Globalhypothese einzuhalten, besteht die Bonferroni-Korrektur darin, für die einzelnen Tests das lokale Signifikanzniveau

vorzugeben. Die so angepassten Signifikanzniveaus

für die Einzeltests werden auch adjustierte Signifikanzniveaus genannt. Die Verwendung der adjustierten Signifikanzniveaus führt dazu, das für den Test der Globalhypothese das Signifikanzniveau gültig ist.

Adjustierte p-Werte Bearbeiten

Bei einer klassischen Testdurchführung erfolgt die Ablehnung einer Nullhypothese, falls eine Teststatistik im Ablehnbereich (kritischen Bereich) liegt, der vom vorgegebenen Signifikanzniveau abhängt. Bei einer -Wert-basierten Testdurchführung, die typisch für die Anwendung statistischer Software ist, wird ein berechneter -Wert mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau verglichen und die Nullhypothese wird abgelehnt, falls der -Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau ist.

Bei einer -Wert-basierten Testdurchführung wird die Bonferroni-Korrektur durchgeführt, indem die -Werte der Einzeltests mit den adjustierten Signifikanzniveaus verglichen werden, dabei wird die -te Nullhypothese abgelehnt, falls gilt.

Alternativ können adjustierte -Werte

für die Einzeltests gebildet werden, die um den Faktor größer sind als die ursprünglichen -Werte, und diese mit dem globalen Signifikanzniveau verglichen werden. Die -te Nullhypothese wird abgelehnt, falls gilt.

Beide Vorgehensweisen führen zu denselben Testentscheidungen, da die beiden Regeln und äquivalent sind.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben seien die p-Werte dreier Hypothesentests, die eine Hypothesenfamilie bilden. Unter Vernachlässigung der multiplen Testung und alleiniger Betrachtung lokaler Signifikanzniveaus erfolgt die Ablehnung der Nullhypothesen 1 und 2, da und , während die dritte Hypothese nicht abgelehnt wird, da . Berücksichtigt man jedoch die Bonferroni-Korrektur (mit ), so erfolgt nur noch die Ablehnung der Nullhypothese 1, da und .

Theoretischer Hintergrund Bearbeiten

Die Globalhypothese wird genau dann abgelehnt, wenn mindestens eine Elementarhypothesen abgelehnt wird. Das Ereignis kann als Vereinigung der Ereignisse für dargestellt werden. Mit der ersten Bonferroni-Ungleichung, die auch Boolesche Ungleichung heißt, ergibt sich die Ungleichung

Betrachtet man den Fall, dass richtig ist, und damit auch die Hypothesen richtig sind, und beschränkt für diesen Fall die Wahrscheinlichkeiten , die dann Fehlerwahreinlichkeiten 1. Art sind, jeweils durch das lokale Signifikanzniveau nach oben, so ist durch

nach oben beschränkt.

Die Bonferroni-Korrektur kann sehr konservativ sein. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den -Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung). Im Vergleich zur allgemein anwendbaren Bonferroni-Methode ergibt sich, allerdings nur unter einschränkenden Voraussetzungen, mit der Šidák-Korrektur ein verbessertes Verfahren.

Literatur Bearbeiten

  • H. Abdi: Encyclopedia of Measurement and Statistics. Hrsg.: N. J. Salkind. Sage, Thousand Oaks, CA 2007, Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons (utdallas.edu [PDF]).

Weblinks Bearbeiten

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Die Bonferroni Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einzeltests bei multiplen Testen um der Alphafehler Kumulierung entgegenzuwirken und fur die Durchschnittshypothese ein vorgegebenes Signifikanzniveau einzuhalten Die Adjustierung vermindert die Signifikanzniveaus der Einzeltests und damit tendenziell die Anzahl der Ablehnungen richtiger Nullhypothesen falsch positiver Befunde in biometrischer Terminologie so dass die verbleibenden Ablehnungen von Nullhypothesen mit einer hoheren statistischen Signifikanz verbunden sind Die Bonferroni Methode nach Carlo Emilio Bonferroni umfasst neben der Bonferroni Korrektur ein ahnliches Vorgehen zur Anpassung der Konfidenzniveaus bei der Konstruktion simultaner Konfidenzintervalle fur einen mehrdimensionalen Parametervektor Inhaltsverzeichnis 1 Adjustierte Signifikanzniveaus 2 Adjustierte p Werte 3 Beispiel 4 Theoretischer Hintergrund 5 Literatur 6 WeblinksAdjustierte Signifikanzniveaus BearbeitenZu k 2 displaystyle k geq 2 nbsp statistischen Tests mit den Nullhypothesen H 1 H k displaystyle H 1 dots H k nbsp kann die Durchschnittshypothese H 0 j 1 k H j displaystyle H 0 cap j 1 k H j nbsp gebildet werden Die Hypothesen H 1 H k displaystyle H 1 dots H k nbsp heissen in diesem Zusammenhang Elementarhypothesen und H 0 displaystyle H 0 nbsp heisst Globalhypothese Ein Test fur die Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp kann auf den Tests fur die einzelnen Elementarhypothesen aufgebaut werden da die Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp genau dann falsch ist wenn mindestens eine der Elementarhypothesen falsch ist Eine mogliche Testprozedur besteht also darin H 0 displaystyle H 0 nbsp genau dann abzulehnen wenn mindestens eine der Hypothesen H 1 H k displaystyle H 1 dots H k nbsp abgelehnt wird Ein vorgegebenes globales Signifikanzniveau a global 0 1 displaystyle alpha text global in 0 1 nbsp fur den Test von H 0 displaystyle H 0 nbsp kann im Allgemeinen nicht eingehalten werden wenn dieses als Signifikanzniveau fur jeden der Einzeltests verwendet wird da es dann zur so genannten Alphafehler Kumulierung kommen kann Um das gewunschte globale Signifikanzniveau a global 0 1 displaystyle alpha text global in 0 1 nbsp fur den Test der Globalhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp einzuhalten besteht die Bonferroni Korrektur darin fur die einzelnen Tests das lokale Signifikanzniveau a lokal a global k displaystyle alpha text lokal frac alpha text global k nbsp vorzugeben Die so angepassten Signifikanzniveaus a j a lokal fur j 1 k displaystyle alpha j alpha text lokal quad text fur j 1 dots k nbsp fur die Einzeltests werden auch adjustierte Signifikanzniveaus genannt Die Verwendung der adjustierten Signifikanzniveaus fuhrt dazu das fur den Test der Globalhypothese das Signifikanzniveau a global displaystyle alpha text global nbsp gultig ist Adjustierte p Werte BearbeitenBei einer klassischen Testdurchfuhrung erfolgt die Ablehnung einer Nullhypothese falls eine Teststatistik im Ablehnbereich kritischen Bereich liegt der vom vorgegebenen Signifikanzniveau abhangt Bei einer p displaystyle p nbsp Wert basierten Testdurchfuhrung die typisch fur die Anwendung statistischer Software ist wird ein berechneter p displaystyle p nbsp Wert mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau verglichen und die Nullhypothese wird abgelehnt falls der p displaystyle p nbsp Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau ist Bei einer p displaystyle p nbsp Wert basierten Testdurchfuhrung wird die Bonferroni Korrektur durchgefuhrt indem die p displaystyle p nbsp Werte der Einzeltests mit den adjustierten Signifikanzniveaus verglichen werden dabei wird die j displaystyle j nbsp te Nullhypothese abgelehnt falls p j lt a lokal displaystyle p j lt alpha text lokal nbsp gilt Alternativ konnen adjustierte p displaystyle p nbsp Werte p j p j k j 1 k displaystyle p j p j cdot k quad j 1 dots k nbsp fur die Einzeltests gebildet werden die um den Faktor k displaystyle k nbsp grosser sind als die ursprunglichen p displaystyle p nbsp Werte und diese mit dem globalen Signifikanzniveau verglichen werden Die j displaystyle j nbsp te Nullhypothese wird abgelehnt falls p j lt a global displaystyle p j lt alpha text global nbsp gilt Beide Vorgehensweisen fuhren zu denselben Testentscheidungen da die beiden Regeln p j lt a lokal displaystyle p j lt alpha text lokal nbsp und p j lt a global displaystyle p j lt alpha text global nbsp aquivalent sind Beispiel BearbeitenGegeben seien die p Werte p 1 0 01 p 2 0 04 p 3 0 1 displaystyle p 1 0 01 p 2 0 04 p 3 0 1 nbsp dreier Hypothesentests die eine Hypothesenfamilie bilden Unter Vernachlassigung der multiplen Testung und alleiniger Betrachtung lokaler Signifikanzniveaus a lokal 0 05 displaystyle alpha text lokal 0 05 nbsp erfolgt die Ablehnung der Nullhypothesen 1 und 2 da p 1 lt a lokal displaystyle p 1 lt alpha text lokal nbsp und p 2 lt a lokal displaystyle p 2 lt alpha text lokal nbsp wahrend die dritte Hypothese nicht abgelehnt wird da p 3 gt a lokal displaystyle p 3 gt alpha text lokal nbsp Berucksichtigt man jedoch die Bonferroni Korrektur mit a global 0 05 a lokal a global 3 0 016 6 displaystyle alpha text global 0 05 implies alpha text lokal alpha text global 3 approx 0 0166 nbsp so erfolgt nur noch die Ablehnung der Nullhypothese 1 da p 1 lt a lokal displaystyle p 1 lt alpha text lokal nbsp und p 2 gt a lokal p 3 gt a lokal displaystyle p 2 gt alpha text lokal p 3 gt alpha text lokal nbsp Theoretischer Hintergrund BearbeitenDie Globalhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp wird genau dann abgelehnt wenn mindestens eine Elementarhypothesen abgelehnt wird Das Ereignis H 0 wird abgelehnt displaystyle H 0 text wird abgelehnt nbsp kann als Vereinigung der Ereignisse H j wird abgelehnt displaystyle H j text wird abgelehnt nbsp fur j 1 k displaystyle j 1 dots k nbsp dargestellt werden Mit der ersten Bonferroni Ungleichung die auch Boolesche Ungleichung heisst ergibt sich die Ungleichung P H 0 wird abgelehnt P j 1 k H j wird abgelehnt j 1 k P H j wird abgelehnt displaystyle P H 0 text wird abgelehnt P left bigcup j 1 k H j text wird abgelehnt right leq sum j 1 k P H j text wird abgelehnt nbsp Betrachtet man den Fall dass H 0 displaystyle H 0 nbsp richtig ist und damit auch die Hypothesen H 1 H k displaystyle H 1 dots H k nbsp richtig sind und beschrankt fur diesen Fall die Wahrscheinlichkeiten P H j wird abgelehnt displaystyle P H j text wird abgelehnt nbsp die dann Fehlerwahreinlichkeiten 1 Art sind jeweils durch das lokale Signifikanzniveau a lokal a global k displaystyle alpha text lokal alpha text global k nbsp nach oben so ist P H 0 wird abgelehnt displaystyle P H 0 text wird abgelehnt nbsp durch j 1 k P H j wird abgelehnt j 1 k a lokal j 1 k a global k a global displaystyle sum j 1 k P H j text wird abgelehnt leq sum j 1 k alpha text lokal sum j 1 k frac alpha text global k alpha text global nbsp nach oben beschrankt Die Bonferroni Korrektur kann sehr konservativ sein Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt die den a displaystyle alpha nbsp Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschopfen siehe Alphafehler Kumulierung Im Vergleich zur allgemein anwendbaren Bonferroni Methode ergibt sich allerdings nur unter einschrankenden Voraussetzungen mit der Sidak Korrektur ein verbessertes Verfahren Literatur BearbeitenH Abdi Encyclopedia of Measurement and Statistics Hrsg N J Salkind Sage Thousand Oaks CA 2007 Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons utdallas edu PDF Weblinks BearbeitenManitoba Centre for Health Policy MCHP 2003 Concept Multiple Comparisons Perneger Thomas V What s wrong with Bonferroni adjustments BMJ 1998 316 1236 1238 18 April School of Psychology University of New England New South Wales Australia 2000 Eric W Weisstein Bonferroni Correction In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bonferroni Korrektur amp oldid 234548599