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Bild Kategorientheorie In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus ein Unterobjekt des Zielobjekts mit einer

Bild (Kategorientheorie)

In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus ein Unterobjekt des Zielobjekts mit einer besonderen Eigenschaft.

Erste Definition Bearbeiten

In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus ein Unterobjekt von , das die folgende universelle Eigenschaft hat:

  • Es gibt einen Morphismus mit .
  • Für jedes Unterobjekt , das obige Eigenschaft erfüllt (), gibt es einen eindeutigen Morphismus mit und .

Zweite Definition Bearbeiten

Ist Morphismus in einer Kategorie , so sei die Kategorie mit

  • Objekten: alle Monomorphismen , so dass es einen Morphismus gibt mit
  • Morphismen zwischen Objekten und : -Morphismen , so dass .

Ein Bild von ist definiert als ein initiales Objekt in .

Dies ist nichts anderes als eine Umformulierung der universellen Eigenschaft des Bildes.

Kategorien mit Bildern Bearbeiten

Man sagt, eine Kategorie habe Bilder, wenn jeder Morphismus ein Bild hat. Die Kategorie der Mengen hat Bilder, denn die Bildmenge einer Abbildung zwischen zwei Mengen ist ein Bild im Sinne der Kategorientheorie. Allgemeiner gilt:

Kobilder Bearbeiten

Das Kobild eines Morphismus ist der duale Begriff: ein Kobild ist ein Quotientenobjekt von X, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

  • Es gibt einen Morphismus mit .
  • Für jedes Quotientenobjekt , das obige Eigenschaft erfüllt (), gibt es einen eindeutigen Morphismus mit und .

In Kategorien mit Kern und Kokern ist jeder Kern eines Kokerns von f ein Bild von f, jeder Kokern des Kernes ein Kobild.

In abelschen Kategorien wie den Kategorien der Vektorräume oder abelschen Gruppen stimmen Bild und Kobild überein. In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Barry Mitchell: Theory of Categories. Academic Press, 1965, ISBN 978-0-08-087329-9, Kapitel I.10: Images.
  2. I. Vaismann: Cohomology and Differential Forms. Marcel Dekker Inc, 1973, ISBN 0-8247-6009-3, S. 13.
  3. Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic. Springer, 1992, ISBN 978-0-387-97710-2, Kapitel IV.6 Factorization and Images, Satz 1.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus ein Unterobjekt des Zielobjekts mit einer besonderen Eigenschaft Inhaltsverzeichnis 1 Erste Definition 2 Zweite Definition 3 Kategorien mit Bildern 4 Kobilder 5 EinzelnachweiseErste Definition Bearbeiten nbsp In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ein Unterobjekt h I Y displaystyle h colon I to Y nbsp von Y displaystyle Y nbsp das die folgende universelle Eigenschaft hat Es gibt einen Morphismus g X I displaystyle g colon X to I nbsp mit f h g displaystyle f hg nbsp Fur jedes Unterobjekt l Z Y displaystyle l colon Z to Y nbsp das obige Eigenschaft erfullt f l k displaystyle f lk nbsp gibt es einen eindeutigen Morphismus m I Z displaystyle m colon I to Z nbsp mit k m g displaystyle k mg nbsp und h l m displaystyle h lm nbsp 1 Zweite Definition BearbeitenIst f X Y displaystyle f X rightarrow Y nbsp Morphismus in einer Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp so sei C f displaystyle mathcal C f nbsp die Kategorie mit Objekten alle Monomorphismen h I Y displaystyle h colon I rightarrow Y nbsp so dass es einen Morphismus g X I displaystyle g colon X rightarrow I nbsp gibt mit f h g displaystyle f h circ g nbsp Morphismen zwischen Objekten h 1 I 1 Y displaystyle h 1 colon I 1 rightarrow Y nbsp und h 2 I 2 Y displaystyle h 2 colon I 2 rightarrow Y nbsp C displaystyle mathcal C nbsp Morphismen m I 1 I 2 displaystyle m I 1 rightarrow I 2 nbsp so dass h 1 h 2 m displaystyle h 1 h 2 circ m nbsp Ein Bild von f displaystyle f nbsp ist definiert als ein initiales Objekt in C f displaystyle mathcal C f nbsp 2 Dies ist nichts anderes als eine Umformulierung der universellen Eigenschaft des Bildes Kategorien mit Bildern BearbeitenMan sagt eine Kategorie habe Bilder wenn jeder Morphismus ein Bild hat Die Kategorie der Mengen hat Bilder denn die Bildmenge einer Abbildung zwischen zwei Mengen ist ein Bild im Sinne der Kategorientheorie Allgemeiner gilt 3 In einem Topos hat jeder Morphismus f displaystyle f nbsp ein Bild h displaystyle h nbsp und es gilt sogar f h e displaystyle f h circ e nbsp mit einem Epimorphismus e displaystyle e nbsp Kobilder BearbeitenDas Kobild eines Morphismus f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp ist der duale Begriff ein Kobild ist ein Quotientenobjekt g X C displaystyle g colon X to C nbsp von X das die folgende universelle Eigenschaft hat Es gibt einen Morphismus h C Y displaystyle h colon C to Y nbsp mit f h g displaystyle f hg nbsp Fur jedes Quotientenobjekt k X Z displaystyle k colon X to Z nbsp das obige Eigenschaft erfullt f l k displaystyle f lk nbsp gibt es einen eindeutigen Morphismus m Z C displaystyle m colon Z to C nbsp mit g m k displaystyle g mk nbsp und l h m displaystyle l hm nbsp In Kategorien mit Kern und Kokern ist jeder Kern eines Kokerns von f ein Bild von f jeder Kokern des Kernes ein Kobild In abelschen Kategorien wie den Kategorien der Vektorraume oder abelschen Gruppen stimmen Bild und Kobild uberein In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild Einzelnachweise Bearbeiten Barry Mitchell Theory of Categories Academic Press 1965 ISBN 978 0 08 087329 9 Kapitel I 10 Images I Vaismann Cohomology and Differential Forms Marcel Dekker Inc 1973 ISBN 0 8247 6009 3 S 13 Saunders Mac Lane Ieke Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic Springer 1992 ISBN 978 0 387 97710 2 Kapitel IV 6 Factorization and Images Satz 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bild Kategorientheorie amp oldid 223472212