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Bairesche σ Algebra Die bairesche σ Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ Algebra eines topologischen Raumes so d

Bairesche σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.

Bairesche σ-Algebra Bearbeiten

Sei ein topologischer Raum und der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über . Die bairesche σ-Algebra wird durch die Mengen

erzeugt, wobei .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
  • Die σ-Algebra wird durch die Mengen mit erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren Bearbeiten

Baire-Menge Bearbeiten

Eine Menge in heißt Baire-Menge. Ein Maß heißt Baire-Maß.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form
und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und kann durch ersetzt werden.

Literatur Bearbeiten

  • Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 (Kapitel 6).
  • R. F. Wheeler: A survey of Baire measures and strict topologies. In: Exposition. Math. Band 77, 1983, S. 97–190.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 12, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.
  2. Vakhania, N.N., Tarieladze, V.I., Chobanyan, S.A: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987 (Kapitel 1).
  3. Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 374.
  4. Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 13, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.
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Die bairesche s Algebra ist in der Masstheorie die kleinste s Algebra eines topologischen Raumes so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind Sie wird durch die Baire Mengen erzeugt diese sind Borel Mengen die keine pathologischen Eigenschaften besitzen Die bairesche s Algebra ist somit eine Unter s Algebra der borelschen s Algebra B 0 X B X displaystyle mathcal B 0 X subseteq mathcal B X Die bairesche s Algebra ist nach Rene Louis Baire benannt In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire Mengen die zum Teil nicht aquivalent sind Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen s Algebra und des Baire Masses Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow 1 Inhaltsverzeichnis 1 Bairesche s Algebra 1 1 Eigenschaften 1 1 1 Vergleich zu anderen s Algebren 2 Baire Menge 2 1 Eigenschaften 3 Literatur 4 EinzelnachweiseBairesche s Algebra BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und C X R displaystyle C X mathbb R nbsp der Raum der reellwertigen stetigen Funktionen uber X displaystyle X nbsp Die bairesche s Algebra B 0 X displaystyle mathcal B 0 X nbsp wird durch die Mengen x X f x gt 0 displaystyle x in X colon f x gt 0 nbsp erzeugt wobei f C X R displaystyle f in C X mathbb R nbsp 1 Eigenschaften Bearbeiten Die gleiche s Algebra wird durch die beschrankten stetigen Funktionen erzeugt Die s Algebra wird durch die Mengen f 1 0 displaystyle f 1 0 nbsp mit f C X R displaystyle f in C X mathbb R nbsp erzeugt 2 Vergleich zu anderen s Algebren Bearbeiten In einem metrischen Raum X d displaystyle X d nbsp gilt B X B 0 X displaystyle mathcal B X mathcal B 0 X nbsp Sei T displaystyle T nbsp eine uberabzahlbare Menge und X R T displaystyle X mathbb R T nbsp beachte X displaystyle X nbsp ist nicht metrisierbar Dann ist B 0 X lt B X displaystyle mathcal B 0 X lt mathcal B X nbsp aber B 0 X E X X displaystyle mathcal B 0 X mathcal E X X nbsp wobei E X X displaystyle mathcal E X X nbsp die zylindrische s Algebra bezeichnet 3 Baire Menge BearbeitenEine Menge in B 0 X displaystyle mathcal B 0 X nbsp heisst Baire Menge Ein Mass m B 0 X R displaystyle mu mathcal B 0 X to mathbb R nbsp heisst Baire Mass Eigenschaften Bearbeiten Jede Baire Menge ist durch eine abzahlbare Familie von Funktionen bestimmt das heisst sie haben die Form x f 1 x f 2 x f n x B f i C X R B B R displaystyle x colon f 1 x f 2 x dots f n x dots in B f i in C X mathbb R B in mathcal B mathbb R infty nbsp dd und alle Mengen dieser Form sind Baire Mengen und C X R displaystyle C X mathbb R nbsp kann durch C b X R displaystyle C b X mathbb R nbsp ersetzt werden 4 Literatur BearbeitenVladimir I Bogachev Measure Theory Volume 2 Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2007 doi 10 1007 978 3 540 34514 5 Kapitel 6 R F Wheeler A survey of Baire measures and strict topologies In Exposition Math Band 77 1983 S 97 190 Einzelnachweise Bearbeiten a b Vladimir I Bogachev Measure Theory Volume 2 Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2007 S 12 doi 10 1007 978 3 540 34514 5 Vakhania N N Tarieladze V I Chobanyan S A Probability Distributions on Banach Spaces Hrsg Springer Dordrecht 1987 Kapitel 1 Vladimir I Bogachev Gaussian Measures Hrsg American Mathematical Society 1998 ISBN 978 1 4704 1869 4 S 374 Vladimir I Bogachev Measure Theory Volume 2 Hrsg Springer Berlin Heidelberg 2007 S 13 doi 10 1007 978 3 540 34514 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bairesche s Algebra amp oldid 233401484