In der Mathematik sind Anosov Diffeomorphismen benannt nach Dmitri Wiktorowitsch Anossow ein gut verstandenes Beispiel chaotischer Dynamik Sie zeigen einerseits alle typischen Effekte chaotischen Verhaltens sind andererseits aber einer mathematischen Behandlung gut zuganglich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Existenz 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Diffeomorphismus f M M displaystyle f colon M to M nbsp einer riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp heisst Anosov Diffeomorphismus wenn es eine stetige f displaystyle f nbsp invariante Zerlegung T M E s E u displaystyle TM E s oplus E u nbsp des Tangentialbundels T M displaystyle TM nbsp gibt so dass E s displaystyle E s nbsp bzw E u displaystyle E u nbsp durch D f displaystyle Df nbsp gleichmassig kontrahiert bzw expandiert werden d h es gibt 0 lt l lt 1 C gt 0 displaystyle 0 lt lambda lt 1 C gt 0 nbsp mit D f m v s C l m v s v s E s m N displaystyle Df m v s leq C lambda m v s quad forall v s in E s m in mathbb N nbsp D f m v u C l m v u v u E u m N displaystyle Df m v u geq C lambda m v u quad forall v u in E u m in mathbb N nbsp Die Unterbundel E s displaystyle E s nbsp und E u displaystyle E u nbsp heissen stabiles und instabiles Bundel Beispiel Bearbeiten Hauptartikel Arnolds Katzenabbildung nbsp Das Bild zeigt wie die Abbildung mit der Matrix 2 1 1 1 displaystyle left begin matrix 2 amp 1 1 amp 1 end matrix right nbsp das Einheitsquadrat verformt und wie die Stucke modulo 1 neu arrangiert werden Die gestrichelten Linien geben die Richtungen maximaler Streckung und Stauchung an sie entsprechen den Eigenvektoren der Matrix Die durch F x y 2 x y x y mod 1 displaystyle F x y 2x y x y mod 1 nbsp oder in Matrixnotation F x y 2 1 1 1 x y mod 1 1 1 0 1 1 0 1 1 x y mod 1 displaystyle F left begin bmatrix x y end bmatrix right begin bmatrix 2 amp 1 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix x y end bmatrix mod 1 begin bmatrix 1 amp 1 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix x y end bmatrix mod 1 nbsp definierte Selbstabbildung des Torus R 2 Z 2 displaystyle mathbb R 2 mathbb Z 2 nbsp ist ein Anosov Diffeomorphismus die Matrix 2 1 1 1 displaystyle left begin matrix 2 amp 1 1 amp 1 end matrix right nbsp hat zwei Eigenwerte l 1 gt 1 displaystyle lambda 1 gt 1 nbsp und l 2 lt 1 displaystyle lambda 2 lt 1 nbsp die Eigenvektoren liefern eine Zerlegung T x T 2 E x u E x s displaystyle T x T 2 E x u oplus E x s nbsp in jedem Punkt x T 2 displaystyle x in T 2 nbsp wobei E x u displaystyle E x u nbsp und E x s displaystyle E x s nbsp nach der kanonischen Identifizierung T x T 2 R 2 displaystyle T x T 2 cong mathbb R 2 nbsp den Eigenvektoren zu l 1 displaystyle lambda 1 nbsp und l 2 displaystyle lambda 2 nbsp entsprechen Die Projektionen der zu den Eigenvektoren parallelen Geraden auf den Torus sind die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Abbildung Existenz BearbeitenEine Vermutung von Smale besagt dass es Anosov Diffeomorphismen nur auf Mannigfaltigkeiten gibt die zu einer Infranilmannigfaltigkeit homoomorph sind Auf Infranilmannigfaltigkeiten G G displaystyle G Gamma nbsp sind Anosov Diffeomorphismen stets zu affinen d h von einem Homomorphismus G G displaystyle G to G nbsp induzierten Abbildungen konjugiert 1 2 Es gibt aber Anosov Diffeomorphismen auf Mannigfaltigkeiten die zu einer Infranilmannigfaltigkeit nur homoomorph und nicht diffeomorph sind 3 Literatur BearbeitenStephen Smale Differentiable dynamical systems Bull Amer Math Soc 73 1967 747 817 pdfEinzelnachweise Bearbeiten John Franks Anosov diffeomorphisms Proc Symp in Pure Math of AMS 14 61 94 1968 Anthony Manning There are no new anosov diffeomorphisms on tori Amer Jour of Math 96 424 429 1974 F T Farrell L E Jones Anosov diffeomorphisms constructed from p 1 displaystyle pi 1 nbsp Diff S n displaystyle S n nbsp Topology 17 273 282 1978 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Anosov Diffeomorphismus amp oldid 209157959
