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Ampèresches Kraftgesetz Nach dem Biot Savart Gesetz existiert um einen stromdurchflossenen Leiter ein Magnetfeld und auf

Ampèresches Kraftgesetz

Nach dem Biot-Savart-Gesetz existiert um einen stromdurchflossenen Leiter ein Magnetfeld und auf einen zweiten stromdurchflossenen Leiter bewirkt dies eine Lorentzkraft, also üben zwei stromdurchflossene Leiter eine Kraft aufeinander aus. Diese Beziehung wird in der Literatur auch als ampèresches Kraftgesetz bezeichnet – nicht zu verwechseln mit dem ampèreschen Gesetz (welches auch Durchflutungsgesetz genannt wird).

Der obere Draht mit Stromstärke I1 erfährt eine Lorentzkraft F12 aufgrund des Magnetfelds B2, das der untere Draht erzeugt. (Der spiegelbildliche Sachverhalt für die Lorentzkraft auf den unteren Draht ist nicht eingezeichnet.)

Historische Entwicklung Bearbeiten

Nachdem Hans Christian Oersted Anfang 1820 aufzeigte, dass ein stromdurchflossener Draht eine Kompassnadel beeinflusst, also ein Magnetfeld besitzt und Jean-Baptiste Biot und Félix Savart noch im selben Jahr dazu die Beziehung zwischen Stromfluss und Magnetfeld (Biot-Savart-Gesetz) formulierten, entdeckte André-Marie Ampère im gleichen Jahr, dass zwischen parallelen Strömen eine Kraft auftritt. Er stellte sein Gesetz dazu 1826 in seinem Werk Théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques uniquement déduite de l'expérience in differentieller Form auf. Obwohl sich Ampères differentielle Fassung von der heute gebräuchlichen differentiellen Fassung durch Hermann Graßmann unterscheidet, geben beide die experimentellen Beobachtungen richtig wieder. Der Grund liegt darin, dass in der Realität immer geschlossene Stromkreise vorliegen, was in der integralen Fassung beider Formulierungen zum selben Ergebnis führt. Im Folgenden wird die heute gebräuchliche Formulierung nach Graßmann verwendet, obwohl die Formulierung nach Ampère den Vorzug hat, dass sie auch in ihrer differentiellen Form mit dem Wechselwirkungsgesetz verträglich ist, was für die Graßmanns Formulierung nicht gilt. Letztere hat aber den Vorteil, dass sie sich heute leicht aus dem Biot-Savart-Gesetz und der Lorentzkraft herleiten lässt.

Integralformel für zwei dünne Leiter Bearbeiten

Verwendet man die differentielle Formulierung von Graßmann und integriert sie, ergibt sich für die Kraft , die vom stromdurchflossenen dünnen Leiter 2 auf den stromdurchflossenen dünnen Leiter 1 ausgeübt wird:

wobei

  • die magnetische Feldkonstante ist,
  • und die Stromstärken in Leiter 1 bzw. 2 sind,
  • und die (infinitesimal kleinen) vektoriellen Linienelemente am Ort bzw. (also ) der beiden Leiter sind, über die im doppelten Linienintegral längs der Kurven und integriert wird,
  • der Vektor ist, der vom Ort des Linienelements des Leiters 2 zum Ort des Linienelements des Leiters 1 zeigt,
  • der Abstand zwischen den beiden Linienelementen ist,
  • das Zeichen für das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ist und
  • die Stromstärken bzw. im Leiter 1 bzw. Leiter 2 konstant sind. Ihre Vorzeichen sind relativ zur Orientierung von bzw. zu betrachten; wenn also ist, zeigt das Linienelement immer in Richtung der technischen Stromrichtung, worauf bei der Parametrisierung der Kurven geachtet werden muss.

Für die Kraft , die vom stromdurchflossenen dünnen Leiter 1 auf den stromdurchflossenen dünnen Leiter 2 ausgeübt wird, gilt nach dem Wechselwirkungsgesetz:

Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formel:

  • Die Drähte sind ungeladen.
  • Die Stromstärke durch die Drähte ist konstant.
  • Die Drähte sind (ideal) dünn und bewegen sich nicht.

Symmetrische Formulierung Bearbeiten

Unter der Annahme, dass die Drähte zusätzlich geschlossen sind, kann man die Integralformel weiter vereinfachen. Man erhält eine symmetrischere Form, indem man den Integranden mit Hilfe der Graßmann-Identität umschreibt:

Der zweite Term enthält eine totale Ableitung und trägt daher zum geschlossenen Linienintegral nicht bei.

Es ergibt sich für das Kraftgesetz:

Differentielle Formulierungen Bearbeiten

Differentielle Formulierung nach Graßmann:

Löst man das doppelte Kreuzprodukt mit der Graßmann-Identität auf, ergibt sich:

Differentielle Formulierung nach Ampère:

wobei hier das Zeichen für das Skalarprodukt ist.

Nun gilt , denn und der Ausdruck in der Klammer ist symmetrisch unter Vertauschung der Indizes. Das heißt, bereits die differentielle Form ist mit dem Wechselwirkungsgesetz verträglich, wohingegen dies für nicht gilt.

Verknüpfung von Lorentzkraft und Biot-Savart Bearbeiten

Für die Lorentzkraft auf den dünnen stromdurchflossenen Leiter 1 gilt:

Nach dem Gesetz von Biot-Savart gilt unter der Voraussetzung, dass Leiter 2 dünn ist:

Setzt man in die obere Formel ein, ergibt sich:

Und nach Herausziehen des skalaren und konstanten Faktors folgt also:

Da Integral und Kreuzprodukt lineare Operatoren sind, gilt damit (absolute Integrierbarkeit vorausgesetzt):

Spezialfall für parallele Leiter Bearbeiten

Veranschaulichung der historischen Definition des Ampere (1948–2019)

Wenn die beiden Leiter gerade, dünn, parallel und unendlich lang sind, ergibt sich für den Betrag der aufeinander wirkenden Kräfte bzw. :

Dabei ist die Kraft bezogen auf ein Leiterstück der Länge , der Abstand der Leiter und bzw. sind die Stromstärken in Leiter 1 bzw. 2. Bis 2019 war das Ampere so definiert, dass bei Strömen I1 = I2 = 1 A die Kraft pro Leiterstrück 2·10−7 N/m beträgt, also generell:

Seit der Revision des SI gilt diese Beziehung nicht mehr exakt, aber in extrem guter Näherung:

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Der deutschsprachige Ausdruck „Ampère’sches Kraftgesetz“ kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor, siehe z. B. Elektrodynamik (Dietmar Petrascheck, Franz Schwabl, Springer, 2. Auflage (2014)) oder Das Ampere’sche Gesetz (Skript, siehe #Weblinks), allerdings vergleichsweise selten, denn eine Google-Suche nach dem Begriff ergab z. B. nur 58 Treffer. Das englische Pendant „Ampère’s force law“ dagegen ist viel gebräuchlicher, der Ausdruck liefert über 2000 Treffer und hat seit Februar 2008 einen eigenen (englischen) Wikipedia-Artikel. Jeweils abgerufen am 19. Mai 2016.
  2. This Month in Physics History – July 1820: Oersted and electromagnetism (Artikel auf www.aps.org, abgerufen am 21. Mai 2016)
  3. Artikel zu Félix Savart (www-groups.dcs.st-and.ac.uk, abgerufen am 21. Mai 2016)
  4. ↑ EVOLUTION OF ELECTROMAGNETICS IN THE 19TH CENTURY (Artikel auf www.ee.bgu.ac.il)
  5. ↑ Equivalence Between Ampère’s and Grassmann’s Forces (IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 32, No. 2, March 1996)
  6. Der Begriff der Lorentzkraft wurde aber erst 1895 etabliert, siehe Lexikon der Physik: Lorentz (www.spektrum.de)
  7. Beim Integral wird der Draht als Kurve (Mathematik) angesehen.
  8. siehe auch BIPM SI Units brochure, 8th Edition, S. 105
  9. siehe Biot-Savart Law (hyperphysics.phy-astr.gsu.edu, abgerufen am 19. Mai 2016)
  10. Tai L. Chow: Introduction to electromagnetic theory: a modern perspective. Jones and Bartlett, Boston 2006, ISBN 0-7637-3827-1, S. 153 (google.com).
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Nach dem Biot Savart Gesetz existiert um einen stromdurchflossenen Leiter ein Magnetfeld und auf einen zweiten stromdurchflossenen Leiter bewirkt dies eine Lorentzkraft also uben zwei stromdurchflossene Leiter eine Kraft aufeinander aus Diese Beziehung wird in der Literatur auch als amperesches Kraftgesetz bezeichnet nicht zu verwechseln mit dem ampereschen Gesetz welches auch Durchflutungsgesetz genannt wird 1 Der obere Draht mit Stromstarke I1 erfahrt eine Lorentzkraft F12 aufgrund des Magnetfelds B2 das der untere Draht erzeugt Der spiegelbildliche Sachverhalt fur die Lorentzkraft auf den unteren Draht ist nicht eingezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Historische Entwicklung 2 Integralformel fur zwei dunne Leiter 2 1 Symmetrische Formulierung 3 Differentielle Formulierungen 4 Verknupfung von Lorentzkraft und Biot Savart 5 Spezialfall fur parallele Leiter 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseHistorische Entwicklung BearbeitenNachdem Hans Christian Oersted Anfang 1820 aufzeigte dass ein stromdurchflossener Draht eine Kompassnadel beeinflusst also ein Magnetfeld besitzt und Jean Baptiste Biot und Felix Savart noch im selben Jahr dazu die Beziehung zwischen Stromfluss und Magnetfeld Biot Savart Gesetz formulierten 2 3 entdeckte Andre Marie Ampere im gleichen Jahr dass zwischen parallelen Stromen eine Kraft auftritt Er stellte sein Gesetz dazu 1826 in seinem Werk Theorie mathematique des phenomenes electro dynamiques uniquement deduite de l experience in differentieller Form auf 4 Obwohl sich Amperes differentielle Fassung von der heute gebrauchlichen differentiellen Fassung durch Hermann Grassmann unterscheidet geben beide die experimentellen Beobachtungen richtig wieder Der Grund liegt darin dass in der Realitat immer geschlossene Stromkreise vorliegen was in der integralen Fassung beider Formulierungen zum selben Ergebnis fuhrt 4 5 Im Folgenden wird die heute gebrauchliche Formulierung nach Grassmann verwendet obwohl die Formulierung nach Ampere den Vorzug hat dass sie auch in ihrer differentiellen Form mit dem Wechselwirkungsgesetz vertraglich ist was fur die Grassmanns Formulierung nicht gilt Letztere hat aber den Vorteil dass sie sich heute leicht aus dem Biot Savart Gesetz und der Lorentzkraft herleiten lasst 6 Integralformel fur zwei dunne Leiter BearbeitenVerwendet man die differentielle Formulierung von Grassmann und integriert sie ergibt sich fur die Kraft F 12 displaystyle vec F 12 nbsp die vom stromdurchflossenen dunnen Leiter 2 auf den stromdurchflossenen dunnen Leiter 1 ausgeubt wird F 12 m 0 4 p I 1 I 2 L 1 L 2 d ℓ 1 d ℓ 2 r 21 r 3 displaystyle vec F 12 frac mu 0 4 pi I 1 I 2 int L 1 int L 2 frac text d vec ell 1 times text d vec ell 2 times vec r 21 r 3 nbsp wobei m 0 displaystyle mu 0 nbsp die magnetische Feldkonstante ist I 1 displaystyle I 1 nbsp und I 2 displaystyle I 2 nbsp die Stromstarken in Leiter 1 bzw 2 sind d ℓ 1 displaystyle text d vec ell 1 nbsp und d ℓ 2 displaystyle text d vec ell 2 nbsp die infinitesimal kleinen 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text d vec ell 1 nbsp immer in Richtung der technischen Stromrichtung worauf bei der Parametrisierung der Kurven r i t displaystyle vec r i t nbsp geachtet werden muss Fur die Kraft F 21 displaystyle vec F 21 nbsp die vom stromdurchflossenen dunnen Leiter 1 auf den stromdurchflossenen dunnen Leiter 2 ausgeubt wird gilt nach dem Wechselwirkungsgesetz F 21 F 12 displaystyle vec F 21 vec F 12 nbsp Voraussetzungen fur die Gultigkeit der Formel Die Drahte sind ungeladen Die Stromstarke durch die Drahte ist konstant Die Drahte sind ideal dunn 7 und bewegen sich nicht Symmetrische Formulierung Bearbeiten Unter der Annahme dass die Drahte zusatzlich geschlossen sind kann man die Integralformel weiter vereinfachen Man erhalt eine symmetrischere Form indem man den Integranden mit Hilfe der Grassmann Identitat umschreibt d l 1 d l 2 r 21 r 3 d l 1 d l 2 r 21 r 3 d l 2 d l 1 r 21 r 3 displaystyle frac d vec l 1 times d vec l 2 times vec r 21 r 3 d vec l 1 cdot d vec l 2 frac vec r 21 r 3 d vec l 2 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Leiter 1 gilt F L I 1 L 1 d ℓ 1 B 2 r 1 displaystyle vec F L I 1 int L 1 left text d vec ell 1 times vec B 2 vec r 1 right nbsp wobei B 2 r 1 displaystyle vec B 2 vec r 1 nbsp das Magnetfeld des stromdurchflossenen Leiters 2 am Ort r 1 displaystyle vec r 1 nbsp istNach dem Gesetz von Biot Savart gilt unter der Voraussetzung dass Leiter 2 dunn ist 9 B 2 r 1 m 0 I 2 4 p L 2 d ℓ 2 r 21 r 3 displaystyle vec B 2 vec r 1 frac mu 0 I 2 4 pi int L 2 frac text d vec ell 2 times vec r 21 r 3 nbsp Setzt man B 2 r 1 displaystyle vec B 2 vec r 1 nbsp in die obere Formel ein ergibt sich F L I 1 L 1 d ℓ 1 m 0 I 2 4 p L 2 d ℓ 2 r 21 r 3 displaystyle vec F L I 1 int L 1 left text d vec ell 1 times left frac mu 0 I 2 4 pi int L 2 frac text d vec ell 2 times vec r 21 r 3 right right nbsp Und nach Herausziehen des skalaren und konstanten Faktors m 0 I 2 4 p displaystyle frac mu 0 I 2 4 pi nbsp folgt also F L m 0 I 1 I 2 4 p L 1 d ℓ 1 L 2 d ℓ 2 r 21 r 3 displaystyle vec F L frac mu 0 I 1 I 2 4 pi int L 1 left text d vec ell 1 times int L 2 frac text d vec ell 2 times vec r 21 r 3 right nbsp Da Integral und Kreuzprodukt lineare Operatoren sind gilt damit absolute Integrierbarkeit vorausgesetzt F L m 0 I 1 I 2 4 p L 1 L 2 d ℓ 1 d ℓ 2 r 21 r 3 displaystyle vec F L frac mu 0 I 1 I 2 4 pi int L 1 int L 2 frac text d vec ell 1 times text d vec ell 2 times vec r 21 r 3 nbsp 10 Spezialfall fur parallele Leiter Bearbeiten nbsp Veranschaulichung der historischen Definition des Ampere 1948 2019 Wenn die beiden Leiter gerade dunn parallel und unendlich lang sind ergibt sich fur den Betrag F displaystyle F nbsp der aufeinander wirkenden Krafte F 12 displaystyle vec F 12 nbsp bzw F 21 displaystyle vec F 21 nbsp F ℓ m 0 2 p I 1 I 2 r displaystyle frac F ell frac mu 0 2 pi cdot frac I 1 cdot I 2 r nbsp Dabei ist F ℓ displaystyle frac F ell nbsp die Kraft F displaystyle F nbsp bezogen auf ein Leiterstuck der Lange ℓ displaystyle ell nbsp r displaystyle r nbsp der Abstand der Leiter und I 1 displaystyle I 1 nbsp bzw I 2 displaystyle I 2 nbsp sind die Stromstarken in Leiter 1 bzw 2 Bis 2019 war das Ampere so definiert dass bei Stromen I1 I2 1 A die Kraft pro Leiterstruck 2 10 7 N m betragt also generell F ℓ 2 10 7 N A 2 I 1 I 2 r displaystyle frac F ell 2 cdot 10 7 frac text N text A 2 cdot frac I 1 cdot I 2 r nbsp Seit der Revision des SI gilt diese Beziehung nicht mehr exakt aber in extrem guter Naherung Weblinks BearbeitenSkript zum ampereschen Kraftgesetz Webseite der Humboldt Universitat zu Berlin Ampere s Force Law Webseite der University of Surrey Electromagnetic Theory A Critical Examination of Fundamentals formerly titled Electromagnetics Buch von Alfred O Rahilly Dover 1965 auf archive org geht in Kapitel IV sehr ausfuhrlich auf die unterschiedlichen Formulierungen ein Einzelnachweise Bearbeiten Der deutschsprachige Ausdruck Ampere sches Kraftgesetz kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor siehe z B Elektrodynamik Dietmar Petrascheck Franz Schwabl Springer 2 Auflage 2014 oder Das Ampere sche Gesetz Skript siehe Weblinks allerdings vergleichsweise selten denn eine Google Suche nach dem Begriff ergab z B nur 58 Treffer Das englische Pendant Ampere s force law dagegen ist viel gebrauchlicher der Ausdruck liefert uber 2000 Treffer und hat seit Februar 2008 einen eigenen englischen Wikipedia Artikel Jeweils abgerufen am 19 Mai 2016 This Month in Physics History July 1820 Oersted and electromagnetism Artikel auf www aps org abgerufen am 21 Mai 2016 Artikel zu Felix Savart www groups dcs st and ac uk abgerufen am 21 Mai 2016 a b EVOLUTION OF ELECTROMAGNETICS IN THE 19TH CENTURY Artikel auf www ee bgu ac il a b c Equivalence Between Ampere s and Grassmann s Forces IEEE Transactions on Magnetics Vol 32 No 2 March 1996 Der Begriff der Lorentzkraft wurde aber erst 1895 etabliert siehe Lexikon der Physik Lorentz www spektrum de Beim Integral wird der Draht als Kurve Mathematik angesehen siehe auch BIPM SI Units brochure 8th Edition S 105 siehe Biot Savart Law hyperphysics phy astr gsu edu abgerufen am 19 Mai 2016 Tai L Chow Introduction to electromagnetic theory a modern perspective Jones and Bartlett Boston 2006 ISBN 0 7637 3827 1 S 153 google com Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Amperesches Kraftgesetz amp oldid 235692243