Ein adischer Raum ist in der algebraischen Geometrie eine Verallgemeinerung von formalen Schemata und rigid-analytischen Räumen. Adische Räume wurden 1993 von Roland Huber eingeführt. Seit 2012 rückten adische Räume durch die Entwicklung perfektoider Räume von Peter Scholze ins Zentrum aktueller Forschung.
Formale Definition Bearbeiten
Wir fassen zuerst die umfangreiche Definition von adischen Räumen in Einzelschritten zusammen. Sie läuft im Wesentlichen analog zur Definition von Schemata.
- Die Grundbausteine von adischen Räumen sind durch Huber-Paare gegeben. Das sind bestimmte Paare topologischer Ringe , wobei ein mit der Teilraumtopologie ausgestatteter Teilring ist.
- Jedem Huber-Paar wird ein adisches Spektrum zugeordnet. Es besteht aus einem topologischen Raum , einer Prägarbe topologischer Ringe , deren Halme lokale Ringe sind, und einer Familie von Äquivalenzklassen von Bewertungen auf .
- Wir definieren eine Kategorie von Tripeln , die wir mit bezeichnen. In diesem Kontext definieren wir Einschränkung auf offene Teilmengen von .
- Ein adischer Raum ist schließlich ein Objekt aus , das eine Überdeckung durch adische Spektren hat.
Bewertungstheorie Bearbeiten
Eine nicht-archimedische Bewertung eines topologischen Ringes mit Bewertungsgruppe ist stetig, wenn für alle die Teilmenge offen in ist.
Huber-Paare Bearbeiten
Ein Huber-Paar ist ein Paar , wobei ein topologischer Ring und ein Teilring ist, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- ist ein Huber-Ring.
- ist offen in .
- ist ganzabgeschlossen in .
- Jedes Element von ist potenzbeschränkt (in ).
Lokalisierungen Bearbeiten
Sei ein Huber-Ring. Wir definieren nun eine Art von topologischer Lokalisierung von , mithilfe derer später eine Strukturprägarbe definiert werden kann.
Sei dazu und sei , sodass offen in ist.
Auf der algebraischen Lokalisierung definieren wir eine Topologie wie folgt.
Sei ein Definitionspaar für . Definiere einen Teilring
Die Familie definiert eine Topologie auf . Der resultierende topologische Ring werde mit bezeichnet. Die Vervollständigung von werde mit notiert.
Sei nun ein Huber-Paar. Wir bezeichnen mit den ganzen Abschluss von in ausgestattet mit der Teilraumtopologie von . Wir bezeichnen die Vervollständigung von mit . Das Paar ist wieder ein Huber-Paar und wird auch Vervollständigung von genannt.
Adisches Spektrum Bearbeiten
Sei ein Huber-Paar.
Wir definieren eine Menge
wobei die Menge der stetigen Bewertungen von ist.
Für und eine endliche Teilmenge , sodass offen ist, sei
die zugehörige rationale Teilmenge. Von den rationalen Teilmengen werde eine Topologie auf erzeugt.
Durch
ist eine Prägarbe vollständiger topologischer Ringe auf den rationalen Teilmengen von definiert.
Für eine beliebige offene Teilmenge definieren wir
Hierbei durchläuft alle rationalen Teilmengen von und der Limes werde mit der Limes-Topologie ausgestattet. Das definiert eine Prägarbe vollständiger topologischer Ringe auf .
Jede Bewertung mit lässt sich auf eindeutige Weise auf die abstrakte Lokalisierung zu einer Bewertung fortsetzen.
Das adische Spektrum von ist das Tripel und wird mit bezeichnet.
Ist eine Garbe topologischer Ringe, so nennen wir garbig.
Die Kategorie von Tripeln Bearbeiten
Die Kategorie adischer Räume wird als volle Unterkategorie einer Kategorie definiert.
Die Objekte von sind Tripel , sodass folgendes gilt:
- ist ein topologischer Raum.
- ist eine Garbe vollständiger topologischer Ringe auf .
- Für alle ist der Halm von in ein lokaler Ring.
- Für alle ist ist eine Äquivalenzklasse von Bewertungen von , sodass der Träger das maximale Ideal von ist.
Ein Morphismus ist ein Paar , sodass:
- ist eine stetige Abbildung.
- ist ein Morphismus von Prägarben topologischer Ringe. Das bedeutet, dass für alle offenen Teilmengen der Ringhomomorphismus stetig ist.
- Für alle gilt für den von induzierten Ringhomomorphismus . Beachte, dass die Gleichheit sinnvoll ist, da eine eindeutige Äquivalenzklasse von Bewertungen auf bezeichnet.
Aus der letzten Bedingung folgt, dass ein lokaler Homomorphismus ist.
Die Verkettung zweier Morphismen und ist durch gegeben.
Sei eine offene Teilmenge. Dann definieren wir die Einschränkung durch .
Adische Räume Bearbeiten
Ein affinoider adischer Raum ist ein Objekt von , das isomorph zu für ein garbiges Huber-Paar ist.
Ein adischer Raum ist ein Objekt von , das eine offene Überdeckung besitzt, sodass für alle ein affinoider adischer Raum ist.
Übergangsfunktoren Bearbeiten
Formale Schemata als adische Räume Bearbeiten
Es gibt einen kanonischen Funktor von der Kategorie der garbigen formalen Schemata in die Kategorie der adischen Räume. Dieser ist volltreu auf der vollen Unterkategorie lokal noetherscher formaler Schemata.
Literatur Bearbeiten
- Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
- Torsten Wedhorn: Adic Spaces, Arxiv
Einzelnachweise Bearbeiten
- Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
- Peter Scholze: Perfectoid spaces. In: Publications mathématiques de l’IHÉS. Band 116, Nr. 1. Springer, November 2012, S. 245–313, doi:10.1007/s10240-012-0042-x, arxiv:1111.4914 (englisch).
- Wedhorn: Def. 7.7
- Wedhorn: Def. 7.23
- Wedhorn: Def. 7.29
- Wedhorn: Prop. 8.2
- Wedhorn: §8
- Wedhorn: Def. 8.21
- Wedhorn: Def. 8.22
- Wedhorn: Remark 9.35
- Wedhorn: Proposition 9.39