Die derivierte Kategorie einer abelschen Kategorie ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.
Quasiisomorphismus Bearbeiten
Zuerst bildet man die abelsche Kategorie aller Kettenkomplexe in . Ein Kettenhomomorphismus in heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl .
Homotopie-Kategorie Bearbeiten
Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie , indem man kettenhomotope Morphismen in miteinander identifiziert. ist eine triangulierte Kategorie.
Derivierte Kategorie Bearbeiten
Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie aus , indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.
Mengentheoretisches Problem Bearbeiten
Seien zwei Objekte aus . In ist die Gesamtheit aller Morphismen von nach nicht immer eine Menge. Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.
Literatur Bearbeiten
- Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin: Methods of Homological Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-642-07813-3.
- Wolfgang Soergel: Derivierte Kategorien und Funktoren. (PDF) Mathematisches Institut, Universität Freiburg, 7. April 2017, abgerufen am 8. April 2017 (Vorlesungsskript).
- Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Kapitel 10.
Einzelnachweise Bearbeiten
- R. P. Thomas: Derived Categories for the Working Mathematician. In: Cumrun Vafa, S.-T. Yau (Hrsg.): Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles and Lagrangian Submanifolds (Cambridge, MA, 1999) (= AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Nr. 23). American Mathematical Society, Providence (Rhode Island) 2001, ISBN 0-8218-2159-8, S. 349–361, arxiv:math/0001045: „… the creators of derived categories (principally Verdier, or as he is traditionally known in this context, Grothendieck’s student Verdier)“
- Für ein Beispiel von Freyd, siehe Carles Casacuberta, Amnon Neeman: Brown representability does not come for free. In: Mathematical Research Letters. Band 16, Nr. 1. International Press, 2009, ISSN 1073-2780, S. 1–5, arxiv:0807.1872.
- Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Set-Theoretic Remark 10.3.3: „The standard references […] all ignore these set-theoretic problems.“