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Äquivarianter Schätzer Ein äquivarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie einem Teilgebiet

Äquivarianter Schätzer

Ein äquivarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Äquivariante Schätzer zeichnen sich im einfachsten Fall dadurch aus, dass eine Transformation der Daten zu einer identischen Transformation des Schätzwertes führt. Verschiebt man die Daten also um einen gewissen Wert, so ist der Schätzwert ebenso um diesen Wert verschoben.

Für äquivariante Schätzer lassen sich einige Optimalitätsbedingungen leichter zeigen. So sind beispielsweise unter gewissen Zusatzannahmen lokal minimale äquivariante Schätzer immer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer. Wichtige äquivariante Schätzer sind die Pitman-Schätzer.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell mit . Sei eine Gruppe von bijektiven, messbaren Transformationen von nach und es gelte für alle

Dann induziert über den Zusammenhang

eine Gruppe auf .

Des Weiteren sei

Dann heißt ein Punktschätzer

ein äquivarianter Schätzer, wenn

gilt.

Äquivariante Schätzer im Lokationsmodell Bearbeiten

Sei ein Lokationsmodell, also ein statistisches Modell mit Lokationsklasse , die von dem Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugt wird. Sei

die Gruppe der Translationen in entlang dem Einsvektor um .

Dann gilt wie oben gefordert

für alle . Für gilt dann

da in der Lokationsklasse liegt. Somit ist die induzierte Gruppe auf gegeben durch die Translationen um .

Demnach ist ein Punktschätzer in diesem Modell genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn

gilt.

Äquivariante Schätzer im Skalenmodell Bearbeiten

Ist ein Skalenmodell, also ein statistisches Modell mit Skalenfamilie und ist

die Gruppe (auf ) der Multiplikationen mit einer positiven reellen Zahl, so ist die Gruppe (auf ) ebenfalls die Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl. Dies folgt analog zum obigen Fall über die definierenden Eigenschaften der Skalenfamilie. Somit ist im Skalenmodel ein Punktschätzer genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn

ist.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein aquivarianter Schatzer ist ein spezieller Punktschatzer in der Schatztheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik Aquivariante Schatzer zeichnen sich im einfachsten Fall dadurch aus dass eine Transformation der Daten zu einer identischen Transformation des Schatzwertes fuhrt Verschiebt man die Daten also um einen gewissen Wert so ist der Schatzwert ebenso um diesen Wert verschoben Fur aquivariante Schatzer lassen sich einige Optimalitatsbedingungen leichter zeigen So sind beispielsweise unter gewissen Zusatzannahmen lokal minimale aquivariante Schatzer immer auch gleichmassig beste erwartungstreue Schatzer Wichtige aquivariante Schatzer sind die Pitman Schatzer Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Aquivariante Schatzer im Lokationsmodell 3 Aquivariante Schatzer im Skalenmodell 4 Weblinks 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp mit 8 R n displaystyle Theta subset mathbb R n nbsp Sei Q displaystyle mathcal Q nbsp eine Gruppe von bijektiven messbaren Transformationen von X A displaystyle X mathcal A nbsp nach X A displaystyle X mathcal A nbsp und es gelte fur alle q Q displaystyle q in mathcal Q nbsp q X X sowie q A A displaystyle q X X text sowie q mathcal A mathcal A nbsp Dann induziert Q displaystyle mathcal Q nbsp uber den Zusammenhang P ϑ A P q ϑ q A displaystyle P vartheta A P overline q vartheta q A nbsp eine Gruppe Q q displaystyle overline mathcal Q overline q nbsp auf 8 displaystyle Theta nbsp Des Weiteren sei q 8 8 fur alle q Q displaystyle overline q Theta Theta text fur alle overline q in overline mathcal Q nbsp Dann heisst ein Punktschatzer d X A 8 B 8 displaystyle d X mathcal A to Theta mathcal B Theta nbsp ein aquivarianter Schatzer wenn d q x q d x fur alle q Q displaystyle d q x overline q d x text fur alle q in mathcal Q nbsp gilt Aquivariante Schatzer im Lokationsmodell BearbeitenSei R n B R n P ϑ ϑ 8 displaystyle mathbb R n mathcal B mathbb R n P vartheta vartheta in Theta nbsp ein Lokationsmodell also ein statistisches Modell mit Lokationsklasse P ϑ ϑ 8 displaystyle P vartheta vartheta in Theta nbsp die von dem Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp erzeugt wird Sei Q T ϑ ϑ R mit T ϑ x x ϑ 1 displaystyle mathcal Q T vartheta vartheta in mathbb R text mit T vartheta x x vartheta cdot mathbf 1 nbsp die Gruppe der Translationen in R n displaystyle mathbb R n nbsp entlang dem Einsvektor 1 displaystyle mathbf 1 nbsp um ϑ displaystyle vartheta nbsp Dann gilt wie oben gefordert T ϑ R n R n und T ϑ B R n B R n displaystyle T vartheta mathbb R n mathbb R n text und T vartheta mathcal B mathbb R n mathcal B mathbb R n nbsp fur alle ϑ R displaystyle vartheta in mathbb R nbsp Fur P 0 P ϑ ϑ 8 displaystyle P 0 in P vartheta vartheta in Theta nbsp gilt dann P ϑ A P 0 A ϑ 1 displaystyle P vartheta A P 0 A vartheta cdot mathbf 1 nbsp da P 0 displaystyle P 0 nbsp in der Lokationsklasse liegt Somit ist die induzierte Gruppe Q displaystyle overline mathcal Q nbsp auf R displaystyle mathbb R nbsp gegeben durch die Translationen um ϑ displaystyle vartheta nbsp Demnach ist ein Punktschatzer d displaystyle d nbsp in diesem Modell genau dann ein aquivarianter Schatzer wenn d x 1 ϑ d x ϑ displaystyle d x mathbf 1 cdot vartheta d x vartheta nbsp gilt Aquivariante Schatzer im Skalenmodell BearbeitenIst R n B R n P ϑ ϑ 0 displaystyle mathbb R n mathcal B mathbb R n P vartheta vartheta in 0 infty nbsp ein Skalenmodell also ein statistisches Modell mit Skalenfamilie und ist Q S ϑ ϑ 0 mit S ϑ x ϑ x displaystyle mathcal Q S vartheta vartheta in 0 infty text mit S vartheta x vartheta cdot x nbsp die Gruppe auf R n displaystyle mathbb R n nbsp der Multiplikationen mit einer positiven reellen Zahl so ist die Gruppe Q displaystyle overline mathcal Q nbsp auf R displaystyle mathbb R nbsp ebenfalls die Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl Dies folgt analog zum obigen Fall uber die definierenden Eigenschaften der Skalenfamilie Somit ist im Skalenmodel ein Punktschatzer d displaystyle d nbsp genau dann ein aquivarianter Schatzer wenn d ϑ x ϑ d x displaystyle d vartheta cdot x vartheta cdot d x nbsp ist Weblinks BearbeitenM S Nikulin Equivariant estimator In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aquivarianter Schatzer amp oldid 170184526