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Äquilibrierung Dieser Artikel beschreibt die im Sinne numerischer Mathematik für Equilibrierung im Sinne thermodynamisch

Äquilibrierung

Unter Äquilibrierung (lateinisch aequilibrium ‚Gleichgewicht‘) versteht man in der numerischen Mathematik die Multiplikation der Zeilen oder Spalten eines linearen Gleichungssystems mit bestimmten Faktoren, so dass anschließend alle Zeilen bzw. Spalten die gleiche Norm besitzen. Ziel dieser Skalierung ist es, die Konditionszahl des Gleichungssystems zu verringern, was den Einfluss von Störungen der Eingabedaten (z. B. durch Rundungsfehler) auf die Lösung verringert.

Äquilibrierung ist damit eine Möglichkeit der Vorkonditionierung linearer Gleichungssysteme, allerdings im Regelfall nicht besonders effektiv, da die durch die Diagonalmatrix gegebene Approximation der Inversen nicht gut ist. Etwa bei den meisten Diskretisierungsverfahren für partielle Differentialgleichungen sind andere Vorkonditionierer vorzuziehen.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Ziel der Äquilibrierung ist das Ersetzen des Gleichungssystems durch ein äquivalentes Gleichungssystem mit Systemmatrix mit möglichst kleiner Konditionszahl. Dabei hängt die Konditionszahl von der Matrixnorm ab und diese Verkleinerung gelingt nicht zwingend bezüglich jeder Matrixnorm. Man kann allerdings für die Zeilensummennorm und die Spaltensummennorm optimale Skalierungen angeben.

Zeilenäquilibrierung Bearbeiten

Eine Zeilenäquilibrierung entspricht der Multiplikation der Matrix A von links mit einer Diagonalmatrix D. Durch Skalierung der Zeilen mit der Betragssummennorm wird die Kondition des skalierten Gleichungssystems bezüglich der Zeilensummennorm

optimiert. Es gibt also keine reguläre Diagonalmatrix derart, dass . Dabei wird jede Zeile der Matrix durch ihre Zeilensumme geteilt (diese Summe ist größer als 0, da die Matrix als regulär vorausgesetzt wurde).

Spaltenäquilibrierung Bearbeiten

Eine Äquilibrierung der Spalten entspricht der Multiplikation der Matrix A von rechts mit einer Diagonalmatrix. Skalierung der Spalten über die Betragssummennorm, indem man durch die Spaltensummen teilt, liefert eine optimale Skalierung bezüglich der Spaltensummennorm in dem Sinne, dass keine Diagonalmatrix existiert derart, dass .

Beispiel Bearbeiten

Anhand eines kurzen Beispiels soll die Zeilenäquilibrierung demonstriert werden. Gegeben sei die Matrix A zum linearen Gleichungssystem .

mit der Inversen

Damit ist die Kondition der Matrix bezüglich der Zeilensummennorm

Bei der Zeilenäquilibrierung wird nun die folgende Diagonalmatrix (aufgestellt wie oben beschrieben) von links heranmultipliziert. Damit ergibt sich

mit der Inversen

Die Kondition der Matrix berechnet sich zu

was kleiner ist als die Kondition der Matrix . Der Wert ist hierbei aufgrund der Definition von immer 1.

Literatur Bearbeiten

  • A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. 2. Auflage. Vieweg, 2005, ISBN 3-528-13135-7
  • A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel beschreibt die Aquilibrierung im Sinne numerischer Mathematik fur Equilibrierung im Sinne thermodynamischer Systeme siehe Equilibrierung Unter Aquilibrierung lateinisch aequilibrium Gleichgewicht versteht man in der numerischen Mathematik die Multiplikation der Zeilen oder Spalten eines linearen Gleichungssystems mit bestimmten Faktoren so dass anschliessend alle Zeilen bzw Spalten die gleiche Norm besitzen Ziel dieser Skalierung ist es die Konditionszahl des Gleichungssystems zu verringern was den Einfluss von Storungen der Eingabedaten z B durch Rundungsfehler auf die Losung verringert Aquilibrierung ist damit eine Moglichkeit der Vorkonditionierung linearer Gleichungssysteme allerdings im Regelfall nicht besonders effektiv da die durch die Diagonalmatrix gegebene Approximation der Inversen nicht gut ist Etwa bei den meisten Diskretisierungsverfahren fur partielle Differentialgleichungen sind andere Vorkonditionierer vorzuziehen Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 1 1 Zeilenaquilibrierung 1 2 Spaltenaquilibrierung 1 3 Beispiel 2 LiteraturMathematische Beschreibung BearbeitenZiel der Aquilibrierung ist das Ersetzen des Gleichungssystems A x b displaystyle Ax b nbsp durch ein aquivalentes Gleichungssystem mit Systemmatrix A displaystyle A nbsp mit moglichst kleiner Konditionszahl Dabei hangt die Konditionszahl von der Matrixnorm ab und diese Verkleinerung gelingt nicht zwingend bezuglich jeder Matrixnorm Man kann allerdings fur die Zeilensummennorm und die Spaltensummennorm optimale Skalierungen angeben Zeilenaquilibrierung Bearbeiten Eine Zeilenaquilibrierung entspricht der Multiplikation der Matrix A von links mit einer Diagonalmatrix D Durch Skalierung der Zeilen mit der Betragssummennorm wird die Kondition k A A A 1 displaystyle kappa infty A Vert A Vert infty cdot Vert A 1 Vert infty nbsp des skalierten Gleichungssystems bezuglich der Zeilensummennorm A max i 1 n j 1 n a i j displaystyle Vert A Vert infty max i 1 n sum j 1 n a ij nbsp optimiert Es gibt also keine regulare Diagonalmatrix D displaystyle hat D nbsp derart dass k A gt k D A displaystyle kappa infty A gt kappa infty hat D A nbsp Dabei wird jede Zeile i displaystyle i nbsp der Matrix A displaystyle A nbsp durch ihre Zeilensumme j 1 n a i j displaystyle textstyle sum j 1 n vert a ij vert nbsp geteilt diese Summe ist grosser als 0 da die Matrix als regular vorausgesetzt wurde Spaltenaquilibrierung Bearbeiten Eine Aquilibrierung der Spalten entspricht der Multiplikation der Matrix A von rechts mit einer Diagonalmatrix Skalierung der Spalten uber die Betragssummennorm indem man durch die Spaltensummen i 1 n a i j displaystyle textstyle sum i 1 n vert a ij vert nbsp teilt liefert eine optimale Skalierung bezuglich der Spaltensummennorm in dem Sinne dass keine Diagonalmatrix D displaystyle hat D nbsp existiert derart dass k 1 A gt k 1 A D displaystyle kappa 1 A gt kappa 1 A hat D nbsp Beispiel Bearbeiten Anhand eines kurzen Beispiels soll die Zeilenaquilibrierung demonstriert werden Gegeben sei die Matrix A zum linearen Gleichungssystem A x b displaystyle Ax b nbsp A 1 2 3 4 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end pmatrix nbsp mit der Inversen A 1 2 1 3 2 1 2 displaystyle A 1 begin pmatrix 2 amp 1 frac 3 2 amp frac 1 2 end pmatrix nbsp Damit ist die Kondition der Matrix bezuglich der Zeilensummennorm k A A A 1 7 3 21 displaystyle kappa infty A Vert A Vert infty cdot Vert A 1 Vert infty 7 cdot 3 21 nbsp Bei der Zeilenaquilibrierung wird nun die folgende Diagonalmatrix D 1 3 0 0 1 7 displaystyle D begin pmatrix frac 1 3 amp 0 0 amp frac 1 7 end pmatrix nbsp aufgestellt wie oben beschrieben von links heranmultipliziert Damit ergibt sichA D A 1 3 2 3 3 7 4 7 displaystyle A DA begin pmatrix frac 1 3 amp frac 2 3 frac 3 7 amp frac 4 7 end pmatrix nbsp mit der Inversen A 1 6 7 9 2 7 2 displaystyle A 1 begin pmatrix 6 amp 7 frac 9 2 amp frac 7 2 end pmatrix nbsp Die Kondition der Matrix A displaystyle A nbsp berechnet sich zu k A A A 1 1 13 13 displaystyle kappa infty A Vert A Vert infty cdot Vert A 1 Vert infty 1 cdot 13 13 nbsp was kleiner ist als die Kondition der Matrix A displaystyle A nbsp Der Wert A displaystyle Vert A Vert infty nbsp ist hierbei aufgrund der Definition von A displaystyle A nbsp immer 1 Literatur BearbeitenA Meister Numerik linearer Gleichungssysteme 2 Auflage Vieweg 2005 ISBN 3 528 13135 7 A Kielbasinski und H Schwetlick Numerische lineare Algebra Deutscher Verlag der Wissenschaften 1988 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aquilibrierung amp oldid 236892404