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Zufällige Fuzzymenge Eine zufällige Fuzzymenge engl random fuzzy set ist eine Fuzzymenge deren Charakteristika z B Größe

Zufällige Fuzzymenge

Eine zufällige Fuzzymenge (engl. random fuzzy set) ist eine Fuzzymenge, deren Charakteristika (z. B. Größe, Form, Lage) vom Zufall abhängen. Wenn z. B. zufällig ausgewählte Probanden die Akzeptanz eines neuen Produktes durch sprachliche Ausdrücke wie „hoch“, „mäßig“ oder „niedrig“ charakterisieren und diese unscharfen sprachlichen Ausdrücke sinnvollerweise durch Fuzzymengen modelliert werden, dann haben wir eine zufällige Fuzzymenge mit den möglichen Werten „hoch“, „mäßig“ und „niedrig“. Eine zufällige Fuzzymenge ist eine Verallgemeinerung des Begriffes „zufällige Menge“. Erste Untersuchungen zu zufälligen Fuzzymengen gab es 1976 von R. Féron und 1986 von M. L. Puri und D. A. Ralescu, damals allerdings noch als „fuzzy random variables“ bezeichnet.

Definitionen Bearbeiten

Sei der -dimensionale euklidische Raum und die Menge aller Fuzzymengen auf mit den Eigenschaften

Sei nun ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Abbildung heißt zufällige Fuzzymenge, wenn für jedes der -Schnitt eine kompakte zufällige Menge ist (siehe). Man beachte, dass der Begriff der zufälligen Fuzzymenge auf den Begriff der zufälligen kompakten Menge zurückgeführt wird. Dadurch wird einerseits vermieden, dass eine geeignete Sigma-Algebra konstruiert werden muss, bzgl. der die Zufallsvariable messbar ist, aber andererseits auch Allgemeinheit eingebüßt, weil man sich auf Fuzzymengen auf mit kompakten -Schnitten beschränkt.

Erwartungswert einer zufälligen Fuzzymenge Bearbeiten

Sei eine zufällige Fuzzymenge. Der Erwartungswert ist die Fuzzymenge, deren -Schnitte gleich den Aumann-Erwartungswerten der kompakten -Schnitte sind, d. h.

Für eine zufällige Dreiecks-Fuzzy-Zahl ergibt sich beispielsweise ganz einfach (siehe z. B.)

Weiteres Bearbeiten

Unter Benutzung einer geeigneten Metrik zwischen Fuzzymengen kann unter Beachtung des Fréchet-Prinzips auch eine Varianz gemäß

definiert werden. Diese Varianz ist reellwertig, im Unterschied zur fuzzymengenwertigen Varianz einer Fuzzy-Zufallsvariable. Aktuell lesenswert ist, insbesondere, wenn es um die methodologischen Unterschiede zwischen zufälligen Fuzzymengen und Fuzzy-Zufallsvariablen geht.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Féron, R. (1976). Ensembles aléatoires flous. C.R.Acad.Sci.Paris.Ser.A 282, 903–906
  2. ↑ Puri, M.L. and D.A. Ralescu (1986). Fuzzy random variables. Journ.Math.Anal.Appl. 114, 409–422
  3. Näther, W. (2000). On Random Fuzzy Variables of Second Order and Their Application to Linear Statistical Inference with Fuzzy Data. Metrika 51, 201–221.
  4. Körner, R. (1997). On the variance of fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 92, 83–93
  5. I. Couso, D. Dubous and Sanchez, L. (2014). Random Sets and Random Fuzzy Sets as Ill-Perceived Random Variables. Springer
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Eine zufallige Fuzzymenge engl random fuzzy set ist eine Fuzzymenge deren Charakteristika z B Grosse Form Lage vom Zufall abhangen Wenn z B zufallig ausgewahlte Probanden die Akzeptanz eines neuen Produktes durch sprachliche Ausdrucke wie hoch massig oder niedrig charakterisieren und diese unscharfen sprachlichen Ausdrucke sinnvollerweise durch Fuzzymengen modelliert werden dann haben wir eine zufallige Fuzzymenge mit den moglichen Werten hoch massig und niedrig Eine zufallige Fuzzymenge ist eine Verallgemeinerung des Begriffes zufallige Menge Erste Untersuchungen zu zufalligen Fuzzymengen gab es 1976 von R Feron 1 und 1986 von M L Puri und D A Ralescu damals allerdings noch als fuzzy random variables bezeichnet 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Erwartungswert einer zufalligen Fuzzymenge 3 Weiteres 4 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSei R d displaystyle mathbb R d nbsp der d displaystyle d nbsp dimensionale euklidische Raum und F R d displaystyle mathfrak F mathbb R d nbsp die Menge aller Fuzzymengen A displaystyle A nbsp auf R d displaystyle mathbb R d nbsp mit den Eigenschaften Die Zugehorigkeitsfunktion m A displaystyle m A nbsp ist von oben halbstetig Der Trager von A displaystyle A nbsp namlich die Abschliessung von supp A x R d m A x gt 0 displaystyle operatorname supp A x in mathbb R d m A x gt 0 nbsp ist kompakt A displaystyle A nbsp ist normal d h a R d m A a 1 displaystyle exists a in mathbb R d m A a 1 nbsp Sei nun W B P displaystyle Omega mathcal B P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum Die Abbildung Y W F R d displaystyle Y Omega to mathfrak F mathbb R d nbsp heisst zufallige Fuzzymenge wenn fur jedes a 0 1 displaystyle alpha in 0 1 nbsp der a displaystyle alpha nbsp Schnitt Y a displaystyle Y alpha nbsp eine kompakte zufallige Menge ist siehe 2 Man beachte dass der Begriff der zufalligen Fuzzymenge auf den Begriff der zufalligen kompakten Menge zuruckgefuhrt wird Dadurch wird einerseits vermieden dass eine geeignete Sigma Algebra konstruiert werden muss bzgl der die Zufallsvariable Y displaystyle Y nbsp messbar ist aber andererseits auch Allgemeinheit eingebusst weil man sich auf Fuzzymengen auf R d displaystyle mathbb R d nbsp mit kompakten a displaystyle alpha nbsp Schnitten beschrankt Erwartungswert einer zufalligen Fuzzymenge BearbeitenSei Y displaystyle Y nbsp eine zufallige Fuzzymenge Der Erwartungswert E Y displaystyle EY nbsp ist die Fuzzymenge deren a displaystyle alpha nbsp Schnitte E Y a displaystyle EY alpha nbsp gleich den Aumann Erwartungswerten E A Y a displaystyle E A Y alpha nbsp der kompakten a displaystyle alpha nbsp Schnitte Y a displaystyle Y alpha nbsp sind 2 d h E Y a E A Y a displaystyle EY alpha E A Y alpha nbsp Fur eine zufallige Dreiecks Fuzzy Zahl Y a D displaystyle Y a Delta nbsp ergibt sich beispielsweise ganz einfach siehe z B 3 E a D E a E D displaystyle E a Delta Ea E Delta nbsp Weiteres BearbeitenUnter Benutzung einer geeigneten Metrik d displaystyle d nbsp zwischen Fuzzymengen kann unter Beachtung des Frechet Prinzips auch eine Varianz gemass V a r Y E d 2 Y E Y displaystyle VarY Ed 2 Y EY nbsp definiert werden 4 Diese Varianz ist reellwertig im Unterschied zur fuzzymengenwertigen Varianz einer Fuzzy Zufallsvariable Aktuell lesenswert ist 5 insbesondere wenn es um die methodologischen Unterschiede zwischen zufalligen Fuzzymengen und Fuzzy Zufallsvariablen geht Einzelnachweise Bearbeiten Feron R 1976 Ensembles aleatoires flous C R Acad Sci Paris Ser A 282 903 906 a b c Puri M L and D A Ralescu 1986 Fuzzy random variables Journ Math Anal Appl 114 409 422 Nather W 2000 On Random Fuzzy Variables of Second Order and Their Application to Linear Statistical Inference with Fuzzy Data Metrika 51 201 221 Korner R 1997 On the variance of fuzzy random variables Fuzzy Sets and Systems 92 83 93 I Couso D Dubous and Sanchez L 2014 Random Sets and Random Fuzzy Sets as Ill Perceived Random Variables Springer Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zufallige Fuzzymenge amp oldid 189519065