Die Wellenfrontmenge ist ein mathematischer Begriff aus der mikrolokalen Analysis der die Singularitaten einer Distribution oder Hyperfunktion charakterisiert Die Wellentfrontmenge beschreibt an welchen Stellen die Singularitaten auftreten und aus welcher Richtung die Singularitaten kommen Sie verallgemeinert den Begriff des singularen Tragers in dem auch die Richtungen enthalten sind in der die lokale Fourier Transformation der Distribution nicht schnell genug fallt Betrachtet man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit dann handelt es sich bei der Wellenfrontmenge um eine kegelformige abgeschlossene Teilmenge des Kotangentialbundel der Mannigfaltigkeit Der Ausdruck Wellenfrontmenge leitet sich von dem Ausdruck Wellenfront ab und wurde von Lars Hormander eingefuhrt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Hormanders Zugang 1 1 Herleitung 1 1 1 Kriterium fur die Glattheit einer Distribution 1 1 2 Herleitung des singularen Fasers Sx 1 1 2 1 Definition Sx 1 1 3 Erlauterungen zu Sx 2 Wellenfrontmenge 2 1 Erlauterungen 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseHormanders Zugang BearbeitenEs gibt unterschiedliche Wege die Wellenfrontmenge herzuleiten Wir folgen Hormanders Zugang 2 Notation Sei X displaystyle X nbsp eine offene Menge und M displaystyle M nbsp eine glatte Mannigfaltigkeit C c X displaystyle mathcal C c infty X nbsp der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Trager auf X displaystyle X nbsp D X displaystyle mathcal D X nbsp der Raum der Distributionen auf X displaystyle X nbsp E X displaystyle mathcal E X nbsp der Raum der Distributionen mit kompaktem Trager auf X displaystyle X nbsp T M displaystyle T M nbsp ist das Kotangentialbundel T M x 3 x M 3 T x M displaystyle T M x xi x in M xi in T x M nbsp das heisst 3 displaystyle xi nbsp ist ein lineares Funktional auf dem Tangentialraum T M 0 displaystyle T M setminus 0 nbsp ist T M displaystyle T M nbsp ohne den Null Schnitt x 3 3 0 displaystyle x xi xi 0 nbsp Herleitung Bearbeiten Kriterium fur die Glattheit einer Distribution Bearbeiten Nach dem Satz von Paley Wiener ist v E R n displaystyle v in mathcal E mathbb R n nbsp genau dann glatt wenn seine Fourier Transformierte v displaystyle hat v nbsp schnell fallt und umgekehrt das heisst v C c R n v 3 C N 1 3 N N N 3 R n displaystyle v in C c infty mathbb R n iff hat v xi leq C N 1 xi N quad forall N in mathbb N xi in mathbb R n nbsp 1 Nun lasst sich der abgeschlossene Kegel S v displaystyle Sigma v nbsp von allen h R n 0 displaystyle eta in mathbb R n setminus 0 nbsp definieren fur die es keine kegelformige Umgebung V displaystyle V nbsp von h displaystyle eta nbsp gibt so dass die Ungleichung in 1 displaystyle 1 nbsp fur alle N displaystyle N nbsp gilt Daraus folgt v C c R n S v displaystyle v in C c infty mathbb R n iff Sigma v emptyset nbsp Da S v displaystyle Sigma v nbsp ein Kegel ist besitzt S v displaystyle Sigma v nbsp die Richtungen der Frequenzen die Singularitaten verursachen Diese Information gilt es nun mit s i n g s u p p v displaystyle operatorname sing supp v nbsp zu kombinieren Herleitung des singularen Fasers Sx Bearbeiten Fur v E R n displaystyle v in mathcal E mathbb R n nbsp eine Testfunktion ϕ C c R n displaystyle phi in C c infty mathbb R n nbsp und 3 S v displaystyle xi notin Sigma v nbsp lasst sich zeigen dass die Ungleichung in 1 displaystyle 1 nbsp fur ϕ v displaystyle widehat phi v nbsp in einer kegelformige Umgebung von 3 displaystyle xi nbsp gilt sowie S ϕ v S v displaystyle Sigma phi v subset Sigma v nbsp Dies impliziert fur eine Distribution v D R n displaystyle v in mathcal D mathbb R n nbsp und zwei Testfunktionen ϕ 1 ϕ 2 C c R n displaystyle phi 1 phi 2 in C c infty mathbb R n nbsp dass wenn ϕ 2 x 0 displaystyle phi 2 x neq 0 nbsp fur x supp ϕ 1 displaystyle x in operatorname supp phi 1 nbsp dann S ϕ 1 v S ϕ 2 v displaystyle Sigma phi 1 v subset Sigma phi 2 v nbsp Diese Aussage lasst sich auf k 1 displaystyle k 1 nbsp Testfunktionen ϕ ϕ 1 ϕ 2 ϕ k C c R n displaystyle phi phi 1 phi 2 dots phi k in C c infty mathbb R n nbsp erweitern dass wenn ϕ 1 x ϕ k x 0 displaystyle phi 1 x dots phi k x neq 0 nbsp fur x supp ϕ displaystyle x in operatorname supp phi nbsp dann S ϕ v j 1 k S ϕ j v displaystyle Sigma phi v subset bigcap j 1 k Sigma phi j v nbsp Definition Sx Bearbeiten Sei nun X R n displaystyle X subset mathbb R n nbsp eine offene Menge und v D R n displaystyle v in mathcal D mathbb R n nbsp Dann definieren wir fur ein x X displaystyle x in X nbsp S x v ϕ S ϕ v ϕ C c X ϕ x 0 displaystyle Sigma x v bigcap phi left Sigma phi v phi in C c infty X phi x neq 0 right nbsp Erlauterungen zu Sx Bearbeiten Fur eine Testfunktion ϕ C c X displaystyle phi in C c infty X nbsp mit supp ϕ x displaystyle operatorname supp phi to x nbsp und ϕ x 0 displaystyle phi x neq 0 nbsp ist S x v displaystyle Sigma x v nbsp folgender Grenzwert S ϕ v S x v displaystyle Sigma phi v to Sigma x v nbsp Daraus folgt S x v displaystyle Sigma x v emptyset nbsp genau dann wenn ϕ v C displaystyle phi v in C infty nbsp und somit S x v x s i n g s u p p v displaystyle Sigma x v emptyset iff x notin operatorname sing supp v nbsp Wellenfrontmenge BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine offene Menge in R n displaystyle mathbb R n nbsp und u D X displaystyle u in mathcal D X nbsp Man nennt die abgeschlossene Menge W F u x 3 X R n 0 3 S x u displaystyle WF u x xi in X times mathbb R n setminus 0 xi in Sigma x u nbsp die Wellenfrontmenge von u displaystyle u nbsp Ist X displaystyle X nbsp hingegen eine differenzierbare Mannigfaltigkeit dann lasst sich die Wellenfrontmenge uber das Kotangentialbundel definieren W F u x 3 T X 0 3 S x u displaystyle WF u x xi in T X setminus 0 xi in Sigma x u nbsp Erlauterungen Bearbeiten Die Wellenfrontmenge W F u displaystyle WF u nbsp ist eine abgeschlossene kegelformige Teilmenge in X R n 0 displaystyle X times mathbb R n setminus 0 nbsp respektive T X 0 displaystyle T X setminus 0 nbsp Die Projektion von W F u displaystyle WF u nbsp auf X displaystyle X nbsp ist der singulare Trager von u displaystyle u nbsp das heisst fur p T X 0 X displaystyle pi T X setminus 0 to X nbsp gilt p W F u s i n g s u p p u displaystyle pi WF u operatorname sing supp u nbsp Beispiele BearbeitenSei d 0 D R n displaystyle delta 0 in D mathbb R n nbsp die Delta Distribution d h d 0 f f 0 0 f displaystyle delta 0 f f 0 langle 0 f rangle nbsp fur eine Testfunktion f displaystyle f nbsp Es gilt s i n g s u p p d 0 0 displaystyle operatorname sing supp delta 0 0 nbsp Da die Fourier Transformierte von d 0 displaystyle delta 0 nbsp eine Konstante Funktion d 0 1 displaystyle widehat delta 0 1 nbsp ist fallt sie auch in keine Richtung Somit ist die WellenfrontmengeW F d 0 0 3 3 0 displaystyle WF delta 0 0 xi xi neq 0 nbsp dd Literatur BearbeitenSpringer Verlag Hrsg The Analysis of Linear Partial Differential Operators I Distribution Theory and Fourier Analysis 2 Auflage 1990 Einzelnachweise Bearbeiten Lars Hormander Linear differential operators In Actes Congr Int Math Nice 1970 Band 1 S 121 133 Lars Hormander The Analysis of Linear Partial Differential Operators I Distribution Theory and Fourier Analysis Hrsg Springer Verlag 2 Auflage 1990 S 252 254 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wellenfrontmenge amp oldid 224195718
