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Satz von Delange Der englisch Delange s theorem ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheor

Satz von Delange

Der Satz von Delange (englisch Delange’s theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheorie, der auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Hubert Delange aus dem Jahre 1961 zurückgeht und auf die Frage eingeht, unter welchen Bedingungen Aussagen über Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen gemacht werden können. In 1965 lieferte Alfréd Rényi einen vereinfachten Beweis des Satzes, der sich wesentlich auf eine von Jonas Kubilius und Paul Turán formulierte Ungleichung stützt.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Delanges Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:

erfülle.
Dann gilt:
I
existiert mit genau dann, wenn den beiden folgenden Bedingungen genügt:

Hintergrund: Die Ungleichung von Turán und Kubilius Bearbeiten

Die erwähnte Turán-Kubilius'sche Ungleichung (englisch Turán-Kubilius inequality) kann in Anschluss an die Monographie von Wolfgang Schwarz folgendermaßen formuliert werden:

und
gesetzt.
Dann gibt es eine von der zahlentheoretischen Funktion unabhängige absolute Konstante derart, dass für stets die Ungleichung
erfüllt ist.

Erläuterungen Bearbeiten

  • Zu der oben dargestellten Ungleichung von Turán-Kubilius findet man weitere und bessere Versionen, die einerseits das obige Abzugsglied und andererseits die erwähnte Konstante variieren.

Siehe auch Bearbeiten

  • Artikel Turán–Kubilius inequality in der englischsprachigen Wikipedia

Literatur Bearbeiten

  • Jean-Marie De Koninck, Florian Luca: Analytic Number Theory. Exploring the Anatomy of Integers (= Graduate Studies in Mathematics. Band 134). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2012, ISBN 978-0-8218-7577-3 (MR2919246).
  • Hubert Delange: Sur les fonctions arithmétiques multiplicatives. In: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série. Band 78, 1961, S. 273–304 (MR0169829).
  • J. Kubilius: Probabilistic Methods in the Theory of Numbers (= Translations of Mathematical Monographs. Band 11). American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 (MR0160745).
  • Alfréd Rényi: A new proof of a theorem of Delange. In: Publicationes Mathematicae Debrecen. Band 12, 1965, S. 323–329 (MR0190124).
  • József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7, XVI.27, S. 584 ff. (MR2186914).
  • Wolfgang Schwarz: Einführung in die Zahlentheorie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1975 (MR0434930).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Wolfgang Schwarz: Einführung in die Zahlentheorie. 1975, S. 121 ff.
  2. Jean-Marie De Koninck, Florian Luca: Analytic Number Theory. 2012, S. 87 ff.
  3. De Koninck / Luca, op. cit., S. 88
  4. bezeichnet die Betragsfunktion.
  5. Schwarz, op. cit., S. 122
  6. József Sándor et al.: Handbook of Number Theory. I, Kapitel=XVI.3. 2006, S. 561 ff.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Delange englisch Delange s theorem ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheorie der auf eine Arbeit des franzosischen Mathematikers Hubert Delange aus dem Jahre 1961 zuruckgeht und auf die Frage eingeht unter welchen Bedingungen Aussagen uber Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen gemacht werden konnen In 1965 lieferte Alfred Renyi einen vereinfachten Beweis des Satzes der sich wesentlich auf eine von Jonas Kubilius und Paul Turan formulierte Ungleichung stutzt 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Hintergrund Die Ungleichung von Turan und Kubilius 3 Erlauterungen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDelanges Satz lasst sich zusammengefasst formulieren wie folgt 1 3 Gegeben sei eine multiplikative zahlentheoretische Funktion f N C displaystyle f colon mathbb N to mathbb C nbsp welche nicht die Nullfunktion sein soll und welche dabei fur jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp hinsichtlich des Betrags des Funktionswertes die Ungleichung f n 1 displaystyle f n leq 1 nbsp 4 dd erfulle Dann gilt I M f displaystyle operatorname M f nbsp existiert mit M f 0 displaystyle operatorname M f neq 0 nbsp genau dann wenn f displaystyle f nbsp den beiden folgenden Bedingungen genugt 1 Die Reihe p Primzahl 1 f p p displaystyle sum p text Primzahl frac 1 f p p nbsp konvergiert 2 Es gibt mindestens eine naturliche Zahl r displaystyle r nbsp mit f 2 r 1 displaystyle f 2 r neq 1 nbsp dd II Genugt f displaystyle f nbsp den beiden genannten Bedingungen so gilt M f p Primzahl 1 1 p 1 k 1 f p k p k displaystyle operatorname M f prod p text Primzahl left bigl 1 frac 1 p bigr cdot bigl 1 sum k 1 infty frac f p k p k bigr right nbsp dd Hintergrund Die Ungleichung von Turan und Kubilius BearbeitenDie erwahnte Turan Kubilius sche Ungleichung englisch Turan Kubilius inequality kann in Anschluss an die Monographie von Wolfgang Schwarz folgendermassen formuliert werden 5 Zu einer gegebenen additiven zahlentheoretischen Funktion a N C displaystyle a colon mathbb N to mathbb C nbsp seien fur N N displaystyle N in mathbb N nbsp A N p Primzahl p N a p p displaystyle A N sum p text Primzahl p leq N frac a p p nbsp dd undB N p Primzahl k N p k N a p k 2 p k displaystyle B N sum p text Primzahl k in mathbb N p k leq N frac a p k 2 p k nbsp dd gesetzt Dann gibt es eine von der zahlentheoretischen Funktion a displaystyle a nbsp unabhangige absolute Konstante K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp derart dass fur N N displaystyle N in mathbb N nbsp stets die Ungleichung n 1 N a n A N 2 K N B N displaystyle sum n 1 N a n A N 2 leq K cdot N cdot B N nbsp dd erfullt ist Erlauterungen BearbeitenMan sagt in Bezug auf eine gegebene zahlentheoretische Funktion g N C displaystyle g colon mathbb N to mathbb C nbsp der zugehorige Mittelwert M g displaystyle operatorname M g nbsp existiert wenn in der komplexen Zahlenebene C displaystyle mathbb C nbsp der folgende Grenzwert existiert lim x R x 1 x n N n x g n M g displaystyle lim x in mathbb R x to infty frac 1 x sum n in mathbb N n leq x g n operatorname M g nbsp Zu der oben dargestellten Ungleichung von Turan Kubilius findet man weitere und bessere Versionen die einerseits das obige Abzugsglied A N displaystyle A N nbsp und andererseits die erwahnte Konstante K displaystyle K nbsp variieren 6 Siehe auch BearbeitenArtikel Turan Kubilius inequality in der englischsprachigen WikipediaLiteratur BearbeitenJean Marie De Koninck Florian Luca Analytic Number Theory Exploring the Anatomy of Integers Graduate Studies in Mathematics Band 134 American Mathematical Society Providence R I 2012 ISBN 978 0 8218 7577 3 MR2919246 Hubert Delange Sur les fonctions arithmetiques multiplicatives In Annales Scientifiques de l Ecole Normale Superieure Troisieme Serie Band 78 1961 S 273 304 MR0169829 J Kubilius Probabilistic Methods in the Theory of Numbers Translations of Mathematical Monographs Band 11 American Mathematical Society Providence R I 1964 MR0160745 Alfred Renyi A new proof of a theorem of Delange In Publicationes Mathematicae Debrecen Band 12 1965 S 323 329 MR0190124 Jozsef Sandor Dragoslav S Mitrinovic Borislav Crstici Handbook of Number Theory I Springer Verlag Dordrecht 2006 ISBN 978 1 4020 4215 7 XVI 27 S 584 ff MR2186914 Wolfgang Schwarz Einfuhrung in die Zahlentheorie Die Mathematik Einfuhrungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1975 MR0434930 Einzelnachweise Bearbeiten a b Wolfgang Schwarz Einfuhrung in die Zahlentheorie 1975 S 121 ff Jean Marie De Koninck Florian Luca Analytic Number Theory 2012 S 87 ff De Koninck Luca op cit S 88 displaystyle cdot nbsp bezeichnet die Betragsfunktion Schwarz op cit S 122 Jozsef Sandor et al Handbook of Number Theory I Kapitel XVI 3 2006 S 561 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Delange amp oldid 184315735 Hintergrund Die Ungleichung von Turan und Kubilius